Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 22264 / 47384
↖ ↑ ↗
← S 62.329209°
W 57.700195°		 ← 283.67 m → S 62.329209°
W 57.694702°		 →
↑
283.64 m
↓
↑
283.64 m
↓
S 62.331759°
W 57.700195°		 ← 283.65 m →
80 457 m²		 S 62.331759°
W 57.694702°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22264 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47384 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.339729309082031 y=0.723030090332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.339729309082031 × 216)
    floor (0.339729309082031 × 65536)
    floor (22264.5)     		tx = 22264
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.723030090332031 × 216)
    floor (0.723030090332031 × 65536)
    floor (47384.5)     		ty = 47384
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22264 / 47384 ti = "16/22264/47384"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22264/47384.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22264 ÷ 216
    22264 ÷ 65536     		x = 0.3397216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47384 ÷ 216
    47384 ÷ 65536     		y = 0.7230224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3397216796875 × 2 - 1) × π
    -0.320556640625 × 3.1415926535     		Λ = -1.00705839
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7230224609375 × 2 - 1) × π
    -0.446044921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.40129144969348
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00705839} λ = -1.00705839}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40129144969348))-π/2
    2×atan(0.246278701922039)-π/2
    2×0.24147320990866-π/2
    0.48294641981732-1.57079632675     		φ = -1.08784991
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00705839} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.700195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08784991 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.329209°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22264 KachelY 47384 -1.00705839 -1.08784991 -57.700195 -62.329209
    Oben rechts KachelX + 1 22265 KachelY 47384 -1.00696251 -1.08784991 -57.694702 -62.329209
    Unten links KachelX 22264 KachelY + 1 47385 -1.00705839 -1.08789443 -57.700195 -62.331759
    Unten rechts KachelX + 1 22265 KachelY + 1 47385 -1.00696251 -1.08789443 -57.694702 -62.331759
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08784991--1.08789443) × R
    4.45199999998813e-05 × 6371000     		dl = 283.636919999244m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08784991--1.08789443) × R
    4.45199999998813e-05 × 6371000     		dr = 283.636919999244m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00705839--1.00696251) × cos(-1.08784991) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.464390624060615 × 6371000     		do = 283.673700006021m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00705839--1.00696251) × cos(-1.08789443) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.464351195331411 × 6371000     		du = 283.649614908432m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08784991)-sin(-1.08789443))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.464390624060615-0.464351195331411)×R²
    abs(-1.00696251--1.00705839)×3.94287292042605e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.94287292042605e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.94287292042605e-05×40589641000000     		ar = 80456.9188559891m²