Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2226 / 2991
↖ ↑ ↗
← S 63.509376°
E 15.644531°		 ← 4 359.25 m → S 63.509376°
E 15.732422°		 →
↑
4 356.23 m
↓
↑
4 356.23 m
↓
S 63.548552°
E 15.644531°		 ← 4 353.27 m →
18 976 906 m²		 S 63.548552°
E 15.732422°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2226 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2991 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5435791015625 y=0.7303466796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5435791015625 × 212)
    floor (0.5435791015625 × 4096)
    floor (2226.5)     		tx = 2226
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7303466796875 × 212)
    floor (0.7303466796875 × 4096)
    floor (2991.5)     		ty = 2991
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2226 / 2991 ti = "12/2226/2991"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2226/2991.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2226 ÷ 212
    2226 ÷ 4096     		x = 0.54345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2991 ÷ 212
    2991 ÷ 4096     		y = 0.730224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54345703125 × 2 - 1) × π
    0.0869140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.27304858
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730224609375 × 2 - 1) × π
    -0.46044921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.44654388293481
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27304858} λ = 0.27304858}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44654388293481))-π/2
    2×atan(0.235382393025956)-π/2
    2×0.231174310088869-π/2
    0.462348620177738-1.57079632675     		φ = -1.10844771
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27304858} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.644531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10844771 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.509376°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2226 KachelY 2991 0.27304858 -1.10844771 15.644531 -63.509376
    Oben rechts KachelX + 1 2227 KachelY 2991 0.27458256 -1.10844771 15.732422 -63.509376
    Unten links KachelX 2226 KachelY + 1 2992 0.27304858 -1.10913147 15.644531 -63.548552
    Unten rechts KachelX + 1 2227 KachelY + 1 2992 0.27458256 -1.10913147 15.732422 -63.548552
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10844771--1.10913147) × R
    0.000683759999999811 × 6371000     		dl = 4356.2349599988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10844771--1.10913147) × R
    0.000683759999999811 × 6371000     		dr = 4356.2349599988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27304858-0.27458256) × cos(-1.10844771) × R
    0.00153397999999999 × 0.44605136456709 × 6371000     		do = 4359.25399990483m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27304858-0.27458256) × cos(-1.10913147) × R
    0.00153397999999999 × 0.445439290109431 × 6371000     		du = 4353.27220444417m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10844771)-sin(-1.10913147))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.44605136456709-0.445439290109431)×R²
    abs(0.27458256-0.27304858)×0.000612074457659095×R²
    0.00153397999999999×0.000612074457659095×6371000²
    0.00153397999999999×0.000612074457659095×40589641000000     		ar = 18976906.3599921m²