Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2226 / 1970
↖ ↑ ↗
← N  6.839170°
E 15.644531°		 ← 9 703.45 m → N  6.839170°
E 15.732422°		 →
↑
9 704.37 m
↓
↑
9 704.37 m
↓
N  6.751896°
E 15.644531°		 ← 9 705.21 m →
94 174 397 m²		 N  6.751896°
E 15.732422°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2226 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1970 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5435791015625 y=0.4810791015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5435791015625 × 212)
    floor (0.5435791015625 × 4096)
    floor (2226.5)     		tx = 2226
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4810791015625 × 212)
    floor (0.4810791015625 × 4096)
    floor (1970.5)     		ty = 1970
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2226 / 1970 ti = "12/2226/1970"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2226/1970.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2226 ÷ 212
    2226 ÷ 4096     		x = 0.54345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1970 ÷ 212
    1970 ÷ 4096     		y = 0.48095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54345703125 × 2 - 1) × π
    0.0869140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.27304858
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.48095703125 × 2 - 1) × π
    0.0380859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.11965050145166
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.27304858} λ = 0.27304858}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.11965050145166))-π/2
    2×atan(1.12710286191991)-π/2
    2×0.845081177436787-π/2
    1.69016235487357-1.57079632675     		φ = 0.11936603
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.27304858} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.644531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.11936603 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 6.839170°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2226 KachelY 1970 0.27304858 0.11936603 15.644531 6.839170
    Oben rechts KachelX + 1 2227 KachelY 1970 0.27458256 0.11936603 15.732422 6.839170
    Unten links KachelX 2226 KachelY + 1 1971 0.27304858 0.11784282 15.644531 6.751896
    Unten rechts KachelX + 1 2227 KachelY + 1 1971 0.27458256 0.11784282 15.732422 6.751896
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.11936603-0.11784282) × R
    0.00152321 × 6371000     		dl = 9704.37090999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.11936603-0.11784282) × R
    0.00152321 × 6371000     		dr = 9704.37090999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.27304858-0.27458256) × cos(0.11936603) × R
    0.00153397999999999 × 0.992884330283033 × 6371000     		do = 9703.44523534831m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.27304858-0.27458256) × cos(0.11784282) × R
    0.00153397999999999 × 0.99306456645326 × 6371000     		du = 9705.20668102117m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.11936603)-sin(0.11784282))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.992884330283033-0.99306456645326)×R²
    abs(0.27458256-0.27304858)×0.000180236170227333×R²
    0.00153397999999999×0.000180236170227333×6371000²
    0.00153397999999999×0.000180236170227333×40589641000000     		ar = 94174396.7381405m²