Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 22259 / 29459
↖ ↑ ↗
← N 69.882176°
W118.863830°		 ← 105.03 m → N 69.882176°
W118.861084°		 →
↑
105.06 m
↓
↑
105.06 m
↓
N 69.881231°
W118.863830°		 ← 105.03 m →
11 034 m²		 N 69.881231°
W118.861084°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22259 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29459 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.169826507568359 y=0.224758148193359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.169826507568359 × 217)
    floor (0.169826507568359 × 131072)
    floor (22259.5)     		tx = 22259
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224758148193359 × 217)
    floor (0.224758148193359 × 131072)
    floor (29459.5)     		ty = 29459
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 22259 / 29459 ti = "17/22259/29459"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/22259/29459.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22259 ÷ 217
    22259 ÷ 131072     		x = 0.169822692871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29459 ÷ 217
    29459 ÷ 131072     		y = 0.224754333496094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.169822692871094 × 2 - 1) × π
    -0.660354614257812 × 3.1415926535     		Λ = -2.07456520
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.224754333496094 × 2 - 1) × π
    0.550491333007812 × 3.1415926535     		Φ = 1.72941952759277
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.07456520} λ = -2.07456520}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72941952759277))-π/2
    2×atan(5.63738061459601)-π/2
    2×1.3952351945659-π/2
    2.79047038913181-1.57079632675     		φ = 1.21967406
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.07456520} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -118.863830°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21967406 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.882176°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22259 KachelY 29459 -2.07456520 1.21967406 -118.863830 69.882176
    Oben rechts KachelX + 1 22260 KachelY 29459 -2.07451727 1.21967406 -118.861084 69.882176
    Unten links KachelX 22259 KachelY + 1 29460 -2.07456520 1.21965757 -118.863830 69.881231
    Unten rechts KachelX + 1 22260 KachelY + 1 29460 -2.07451727 1.21965757 -118.861084 69.881231
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21967406-1.21965757) × R
    1.64899999999246e-05 × 6371000     		dl = 105.05778999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21967406-1.21965757) × R
    1.64899999999246e-05 × 6371000     		dr = 105.05778999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.07456520--2.07451727) × cos(1.21967406) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.3439518181009 × 6371000     		do = 105.029825397546m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.07456520--2.07451727) × cos(1.21965757) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.343967301954688 × 6371000     		du = 105.034553578571m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21967406)-sin(1.21965757))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.3439518181009-0.343967301954688)×R²
    abs(-2.07451727--2.07456520)×1.54838537884672e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.54838537884672e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.54838537884672e-05×40589641000000     		ar = 11034.4497066195m²