Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22248 / 47832
↖ ↑ ↗
← S 63.450509°
W 57.788086°		 ← 273.03 m → S 63.450509°
W 57.782593°		 →
↑
273 m
↓
↑
273 m
↓
S 63.452964°
W 57.788086°		 ← 273.01 m →
74 534 m²		 S 63.452964°
W 57.782593°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22248 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47832 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.339485168457031 y=0.729866027832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.339485168457031 × 216)
    floor (0.339485168457031 × 65536)
    floor (22248.5)     		tx = 22248
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729866027832031 × 216)
    floor (0.729866027832031 × 65536)
    floor (47832.5)     		ty = 47832
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22248 / 47832 ti = "16/22248/47832"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22248/47832.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22248 ÷ 216
    22248 ÷ 65536     		x = 0.3394775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47832 ÷ 216
    47832 ÷ 65536     		y = 0.7298583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3394775390625 × 2 - 1) × π
    -0.321044921875 × 3.1415926535     		Λ = -1.00859237
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7298583984375 × 2 - 1) × π
    -0.459716796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.44424291175305
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00859237} λ = -1.00859237}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44424291175305))-π/2
    2×atan(0.235924624719518)-π/2
    2×0.231688014446108-π/2
    0.463376028892216-1.57079632675     		φ = -1.10742030
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00859237} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.788086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10742030 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.450509°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22248 KachelY 47832 -1.00859237 -1.10742030 -57.788086 -63.450509
    Oben rechts KachelX + 1 22249 KachelY 47832 -1.00849649 -1.10742030 -57.782593 -63.450509
    Unten links KachelX 22248 KachelY + 1 47833 -1.00859237 -1.10746315 -57.788086 -63.452964
    Unten rechts KachelX + 1 22249 KachelY + 1 47833 -1.00849649 -1.10746315 -57.782593 -63.452964
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10742030--1.10746315) × R
    4.28500000000387e-05 × 6371000     		dl = 272.997350000247m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10742030--1.10746315) × R
    4.28500000000387e-05 × 6371000     		dr = 272.997350000247m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00859237--1.00849649) × cos(-1.10742030) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.446970668500844 × 6371000     		do = 273.032694370151m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00859237--1.00849649) × cos(-1.10746315) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.446932336682431 × 6371000     		du = 273.009279322142m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10742030)-sin(-1.10746315))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.446970668500844-0.446932336682431)×R²
    abs(-1.00849649--1.00859237)×3.83318184132841e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.83318184132841e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.83318184132841e-05×40589641000000     		ar = 74534.0059150749m²