Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 22247 / 47833
↖ ↑ ↗
← S 63.452964°
W 57.793579°		 ← 272.98 m → S 63.452964°
W 57.788086°		 →
↑
273 m
↓
↑
273 m
↓
S 63.455420°
W 57.793579°		 ← 272.96 m →
74 520 m²		 S 63.455420°
W 57.788086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22247 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47833 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.339469909667969 y=0.729881286621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.339469909667969 × 216)
    floor (0.339469909667969 × 65536)
    floor (22247.5)     		tx = 22247
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729881286621094 × 216)
    floor (0.729881286621094 × 65536)
    floor (47833.5)     		ty = 47833
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22247 / 47833 ti = "16/22247/47833"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22247/47833.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22247 ÷ 216
    22247 ÷ 65536     		x = 0.339462280273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47833 ÷ 216
    47833 ÷ 65536     		y = 0.729873657226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.339462280273438 × 2 - 1) × π
    -0.321075439453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.00868824
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729873657226562 × 2 - 1) × π
    -0.459747314453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.44433878555229
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00868824} λ = -1.00868824}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44433878555229))-π/2
    2×atan(0.235902006813661)-π/2
    2×0.231666588976733-π/2
    0.463333177953466-1.57079632675     		φ = -1.10746315
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00868824} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.793579°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10746315 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.452964°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22247 KachelY 47833 -1.00868824 -1.10746315 -57.793579 -63.452964
    Oben rechts KachelX + 1 22248 KachelY 47833 -1.00859237 -1.10746315 -57.788086 -63.452964
    Unten links KachelX 22247 KachelY + 1 47834 -1.00868824 -1.10750600 -57.793579 -63.455420
    Unten rechts KachelX + 1 22248 KachelY + 1 47834 -1.00859237 -1.10750600 -57.788086 -63.455420
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10746315--1.10750600) × R
    4.28500000000387e-05 × 6371000     		dl = 272.997350000247m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10746315--1.10750600) × R
    4.28500000000387e-05 × 6371000     		dr = 272.997350000247m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00868824--1.00859237) × cos(-1.10746315) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.446932336682431 × 6371000     		do = 272.980805263145m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00868824--1.00859237) × cos(-1.10750600) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.446894004043395 × 6371000     		du = 272.95739215603m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10746315)-sin(-1.10750600))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.446932336682431-0.446894004043395)×R²
    abs(-1.00859237--1.00868824)×3.8332639035854e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.8332639035854e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.8332639035854e-05×40589641000000     		ar = 74519.8405908831m²