Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2223 / 6511
↖ ↑ ↗
← S 72.168352°
W 82.309570°		 ← 1 496.35 m → S 72.168352°
W 82.265625°		 →
↑
1 495.78 m
↓
↑
1 495.78 m
↓
S 72.181803°
W 82.309570°		 ← 1 495.26 m →
2 237 395 m²		 S 72.181803°
W 82.265625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2223 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6511 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.27142333984375 y=0.79486083984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.27142333984375 × 213)
    floor (0.27142333984375 × 8192)
    floor (2223.5)     		tx = 2223
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.79486083984375 × 213)
    floor (0.79486083984375 × 8192)
    floor (6511.5)     		ty = 6511
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2223 / 6511 ti = "13/2223/6511"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2223/6511.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2223 ÷ 213
    2223 ÷ 8192     		x = 0.2713623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6511 ÷ 213
    6511 ÷ 8192     		y = 0.7947998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2713623046875 × 2 - 1) × π
    -0.457275390625 × 3.1415926535     		Λ = -1.43657301
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7947998046875 × 2 - 1) × π
    -0.589599609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.85228180131897
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.43657301} λ = -1.43657301}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.85228180131897))-π/2
    2×atan(0.15687879136585)-π/2
    2×0.155610488855094-π/2
    0.311220977710189-1.57079632675     		φ = -1.25957535
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.43657301} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.309570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25957535 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.168352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2223 KachelY 6511 -1.43657301 -1.25957535 -82.309570 -72.168352
    Oben rechts KachelX + 1 2224 KachelY 6511 -1.43580602 -1.25957535 -82.265625 -72.168352
    Unten links KachelX 2223 KachelY + 1 6512 -1.43657301 -1.25981013 -82.309570 -72.181803
    Unten rechts KachelX + 1 2224 KachelY + 1 6512 -1.43580602 -1.25981013 -82.265625 -72.181803
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25957535--1.25981013) × R
    0.00023477999999999 × 6371000     		dl = 1495.78337999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25957535--1.25981013) × R
    0.00023477999999999 × 6371000     		dr = 1495.78337999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.43657301--1.43580602) × cos(-1.25957535) × R
    0.000766990000000023 × 0.306221185956077 × 6371000     		do = 1496.34777043026m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.43657301--1.43580602) × cos(-1.25981013) × R
    0.000766990000000023 × 0.305997676257917 × 6371000     		du = 1495.25559178995m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25957535)-sin(-1.25981013))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.306221185956077-0.305997676257917)×R²
    abs(-1.43580602--1.43657301)×0.00022350969816004×R²
    0.000766990000000023×0.00022350969816004×6371000²
    0.000766990000000023×0.00022350969816004×40589641000000     		ar = 2237395.30465536m²