Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22227 / 47799
↖ ↑ ↗
← S 63.369370°
W 57.903443°		 ← 273.81 m → S 63.369370°
W 57.897949°		 →
↑
273.83 m
↓
↑
273.83 m
↓
S 63.371832°
W 57.903443°		 ← 273.78 m →
74 972 m²		 S 63.371832°
W 57.897949°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22227 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47799 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.339164733886719 y=0.729362487792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.339164733886719 × 216)
    floor (0.339164733886719 × 65536)
    floor (22227.5)     		tx = 22227
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729362487792969 × 216)
    floor (0.729362487792969 × 65536)
    floor (47799.5)     		ty = 47799
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22227 / 47799 ti = "16/22227/47799"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22227/47799.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22227 ÷ 216
    22227 ÷ 65536     		x = 0.339157104492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47799 ÷ 216
    47799 ÷ 65536     		y = 0.729354858398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.339157104492188 × 2 - 1) × π
    -0.321685791015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.01060572
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729354858398438 × 2 - 1) × π
    -0.458709716796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.44107907637813
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.01060572} λ = -1.01060572}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44107907637813))-π/2
    2×atan(0.236672233424834)-π/2
    2×0.232396086540976-π/2
    0.464792173081951-1.57079632675     		φ = -1.10600415
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.01060572} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.903443°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10600415 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.369370°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22227 KachelY 47799 -1.01060572 -1.10600415 -57.903443 -63.369370
    Oben rechts KachelX + 1 22228 KachelY 47799 -1.01050984 -1.10600415 -57.897949 -63.369370
    Unten links KachelX 22227 KachelY + 1 47800 -1.01060572 -1.10604713 -57.903443 -63.371832
    Unten rechts KachelX + 1 22228 KachelY + 1 47800 -1.01050984 -1.10604713 -57.897949 -63.371832
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10600415--1.10604713) × R
    4.29800000001368e-05 × 6371000     		dl = 273.825580000872m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10600415--1.10604713) × R
    4.29800000001368e-05 × 6371000     		dr = 273.825580000872m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.01060572--1.01050984) × cos(-1.10600415) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.448237034900618 × 6371000     		do = 273.806256159674m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.01060572--1.01050984) × cos(-1.10604713) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.448198614031139 × 6371000     		du = 273.78278671469m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10600415)-sin(-1.10604713))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.448237034900618-0.448198614031139)×R²
    abs(-1.01050984--1.01060572)×3.84208694788613e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.84208694788613e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.84208694788613e-05×40589641000000     		ar = 74971.9436450206m²