Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22226 / 47798
↖ ↑ ↗
← S 63.366908°
W 57.908935°		 ← 273.80 m → S 63.366908°
W 57.903443°		 →
↑
273.76 m
↓
↑
273.76 m
↓
S 63.369370°
W 57.908935°		 ← 273.78 m →
74 953 m²		 S 63.369370°
W 57.903443°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22226 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47798 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.339149475097656 y=0.729347229003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.339149475097656 × 216)
    floor (0.339149475097656 × 65536)
    floor (22226.5)     		tx = 22226
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729347229003906 × 216)
    floor (0.729347229003906 × 65536)
    floor (47798.5)     		ty = 47798
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22226 / 47798 ti = "16/22226/47798"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22226/47798.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22226 ÷ 216
    22226 ÷ 65536     		x = 0.339141845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47798 ÷ 216
    47798 ÷ 65536     		y = 0.729339599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.339141845703125 × 2 - 1) × π
    -0.32171630859375 × 3.1415926535     		Λ = -1.01070159
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729339599609375 × 2 - 1) × π
    -0.45867919921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.44098320257889
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.01070159} λ = -1.01070159}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44098320257889))-π/2
    2×atan(0.236694925178782)-π/2
    2×0.232417574555339-π/2
    0.464835149110677-1.57079632675     		φ = -1.10596118
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.01070159} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.908935°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10596118 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.366908°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22226 KachelY 47798 -1.01070159 -1.10596118 -57.908935 -63.366908
    Oben rechts KachelX + 1 22227 KachelY 47798 -1.01060572 -1.10596118 -57.903443 -63.366908
    Unten links KachelX 22226 KachelY + 1 47799 -1.01070159 -1.10600415 -57.908935 -63.369370
    Unten rechts KachelX + 1 22227 KachelY + 1 47799 -1.01060572 -1.10600415 -57.903443 -63.369370
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10596118--1.10600415) × R
    4.29699999999755e-05 × 6371000     		dl = 273.761869999844m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10596118--1.10600415) × R
    4.29699999999755e-05 × 6371000     		dr = 273.761869999844m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.01070159--1.01060572) × cos(-1.10596118) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.448275446003122 × 6371000     		do = 273.801160009996m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.01070159--1.01060572) × cos(-1.10600415) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.448237034900618 × 6371000     		du = 273.777698978354m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10596118)-sin(-1.10600415))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.448275446003122-0.448237034900618)×R²
    abs(-1.01060572--1.01070159)×3.84111025045208e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.84111025045208e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.84111025045208e-05×40589641000000     		ar = 74953.1062163146m²