Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 22225 / 14415
↖ ↑ ↗
← N 80.141633°
W118.957214°		 ← 52.29 m → N 80.141633°
W118.954468°		 →
↑
52.31 m
↓
↑
52.31 m
↓
N 80.141162°
W118.957214°		 ← 52.30 m →
2 735 m²		 N 80.141162°
W118.954468°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22225 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14415 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.169567108154297 y=0.109981536865234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.169567108154297 × 217)
    floor (0.169567108154297 × 131072)
    floor (22225.5)     		tx = 22225
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.109981536865234 × 217)
    floor (0.109981536865234 × 131072)
    floor (14415.5)     		ty = 14415
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 22225 / 14415 ti = "17/22225/14415"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/22225/14415.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22225 ÷ 217
    22225 ÷ 131072     		x = 0.169563293457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14415 ÷ 217
    14415 ÷ 131072     		y = 0.109977722167969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.169563293457031 × 2 - 1) × π
    -0.660873413085938 × 3.1415926535     		Λ = -2.07619506
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.109977722167969 × 2 - 1) × π
    0.780044555664062 × 3.1415926535     		Φ = 2.45058224547689
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.07619506} λ = -2.07619506}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45058224547689))-π/2
    2×atan(11.5950959463481)-π/2
    2×1.48476584415426-π/2
    2.96953168830852-1.57079632675     		φ = 1.39873536
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.07619506} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -118.957214°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39873536 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.141633°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22225 KachelY 14415 -2.07619506 1.39873536 -118.957214 80.141633
    Oben rechts KachelX + 1 22226 KachelY 14415 -2.07614712 1.39873536 -118.954468 80.141633
    Unten links KachelX 22225 KachelY + 1 14416 -2.07619506 1.39872715 -118.957214 80.141162
    Unten rechts KachelX + 1 22226 KachelY + 1 14416 -2.07614712 1.39872715 -118.954468 80.141162
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39873536-1.39872715) × R
    8.210000000064e-06 × 6371000     		dl = 52.3059100004077m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39873536-1.39872715) × R
    8.210000000064e-06 × 6371000     		dr = 52.3059100004077m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.07619506--2.07614712) × cos(1.39873536) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.17121324579916 × 6371000     		do = 52.292932295976m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.07619506--2.07614712) × cos(1.39872715) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.171221334564487 × 6371000     		du = 52.2954028131117m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39873536)-sin(1.39872715))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17121324579916-0.171221334564487)×R²
    abs(-2.07614712--2.07619506)×8.08876532684688e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.08876532684688e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.08876532684688e-06×40589641000000     		ar = 2735.29402176552m²