Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 22224 / 14416
↖ ↑ ↗
← N 80.141162°
W118.959961°		 ← 52.30 m → N 80.141162°
W118.957214°		 →
↑
52.24 m
↓
↑
52.24 m
↓
N 80.140693°
W118.959961°		 ← 52.30 m →
2 732 m²		 N 80.140693°
W118.957214°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22224 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14416 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.169559478759766 y=0.109989166259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.169559478759766 × 217)
    floor (0.169559478759766 × 131072)
    floor (22224.5)     		tx = 22224
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.109989166259766 × 217)
    floor (0.109989166259766 × 131072)
    floor (14416.5)     		ty = 14416
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 22224 / 14416 ti = "17/22224/14416"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/22224/14416.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22224 ÷ 217
    22224 ÷ 131072     		x = 0.1695556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14416 ÷ 217
    14416 ÷ 131072     		y = 0.1099853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1695556640625 × 2 - 1) × π
    -0.660888671875 × 3.1415926535     		Λ = -2.07624300
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1099853515625 × 2 - 1) × π
    0.780029296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.45053430857727
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.07624300} λ = -2.07624300}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45053430857727))-π/2
    2×atan(11.5945401267199)-π/2
    2×1.4847617403413-π/2
    2.9695234806826-1.57079632675     		φ = 1.39872715
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.07624300} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -118.959961°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39872715 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.141162°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22224 KachelY 14416 -2.07624300 1.39872715 -118.959961 80.141162
    Oben rechts KachelX + 1 22225 KachelY 14416 -2.07619506 1.39872715 -118.957214 80.141162
    Unten links KachelX 22224 KachelY + 1 14417 -2.07624300 1.39871895 -118.959961 80.140693
    Unten rechts KachelX + 1 22225 KachelY + 1 14417 -2.07619506 1.39871895 -118.957214 80.140693
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39872715-1.39871895) × R
    8.20000000012477e-06 × 6371000     		dl = 52.2422000007949m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39872715-1.39871895) × R
    8.20000000012477e-06 × 6371000     		dr = 52.2422000007949m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.07624300--2.07619506) × cos(1.39872715) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.171221334564487 × 6371000     		do = 52.2954028131117m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.07624300--2.07619506) × cos(1.39871895) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.171229413465961 × 6371000     		du = 52.2978703175728m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39872715)-sin(1.39871895))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.171221334564487-0.171229413465961)×R²
    abs(-2.07619506--2.07624300)×8.07890147405677e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.07890147405677e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.07890147405677e-06×40589641000000     		ar = 2732.09134676832m²