Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 22222 / 14382
↖ ↑ ↗
← N 80.157139°
W118.965454°		 ← 52.21 m → N 80.157139°
W118.962707°		 →
↑
52.24 m
↓
↑
52.24 m
↓
N 80.156669°
W118.965454°		 ← 52.21 m →
2 728 m²		 N 80.156669°
W118.962707°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22222 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14382 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.169544219970703 y=0.109729766845703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.169544219970703 × 217)
    floor (0.169544219970703 × 131072)
    floor (22222.5)     		tx = 22222
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.109729766845703 × 217)
    floor (0.109729766845703 × 131072)
    floor (14382.5)     		ty = 14382
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 22222 / 14382 ti = "17/22222/14382"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/22222/14382.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22222 ÷ 217
    22222 ÷ 131072     		x = 0.169540405273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14382 ÷ 217
    14382 ÷ 131072     		y = 0.109725952148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.169540405273438 × 2 - 1) × π
    -0.660919189453125 × 3.1415926535     		Λ = -2.07633887
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.109725952148438 × 2 - 1) × π
    0.780548095703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.45216416316435
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.07633887} λ = -2.07633887}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45216416316435))-π/2
    2×atan(11.6134529495193)-π/2
    2×1.48490116130508-π/2
    2.96980232261015-1.57079632675     		φ = 1.39900600
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.07633887} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -118.965454°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39900600 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.157139°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22222 KachelY 14382 -2.07633887 1.39900600 -118.965454 80.157139
    Oben rechts KachelX + 1 22223 KachelY 14382 -2.07629093 1.39900600 -118.962707 80.157139
    Unten links KachelX 22222 KachelY + 1 14383 -2.07633887 1.39899780 -118.965454 80.156669
    Unten rechts KachelX + 1 22223 KachelY + 1 14383 -2.07629093 1.39899780 -118.962707 80.156669
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39900600-1.39899780) × R
    8.19999999990273e-06 × 6371000     		dl = 52.2421999993803m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39900600-1.39899780) × R
    8.19999999990273e-06 × 6371000     		dr = 52.2421999993803m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.07633887--2.07629093) × cos(1.39900600) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.170946595803725 × 6371000     		do = 52.2114905237995m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.07633887--2.07629093) × cos(1.39899780) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.170954675096404 × 6371000     		du = 52.2139581477445m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39900600)-sin(1.39899780))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.170946595803725-0.170954675096404)×R²
    abs(-2.07629093--2.07633887)×8.07929267851448e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.07929267851448e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.07929267851448e-06×40589641000000     		ar = 2727.70758707148m²