Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22219 / 47804
↖ ↑ ↗
← S 63.381679°
W 57.947388°		 ← 273.69 m → S 63.381679°
W 57.941894°		 →
↑
273.63 m
↓
↑
273.63 m
↓
S 63.384140°
W 57.947388°		 ← 273.67 m →
74 888 m²		 S 63.384140°
W 57.941894°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22219 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47804 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.339042663574219 y=0.729438781738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.339042663574219 × 216)
    floor (0.339042663574219 × 65536)
    floor (22219.5)     		tx = 22219
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729438781738281 × 216)
    floor (0.729438781738281 × 65536)
    floor (47804.5)     		ty = 47804
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22219 / 47804 ti = "16/22219/47804"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22219/47804.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22219 ÷ 216
    22219 ÷ 65536     		x = 0.339035034179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47804 ÷ 216
    47804 ÷ 65536     		y = 0.72943115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.339035034179688 × 2 - 1) × π
    -0.321929931640625 × 3.1415926535     		Λ = -1.01137271
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72943115234375 × 2 - 1) × π
    -0.4588623046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.44155844537433
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.01137271} λ = -1.01137271}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44155844537433))-π/2
    2×atan(0.236558807282529)-π/2
    2×0.232288674089425-π/2
    0.46457734817885-1.57079632675     		φ = -1.10621898
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.01137271} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.947388°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10621898 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.381679°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22219 KachelY 47804 -1.01137271 -1.10621898 -57.947388 -63.381679
    Oben rechts KachelX + 1 22220 KachelY 47804 -1.01127683 -1.10621898 -57.941894 -63.381679
    Unten links KachelX 22219 KachelY + 1 47805 -1.01137271 -1.10626193 -57.947388 -63.384140
    Unten rechts KachelX + 1 22220 KachelY + 1 47805 -1.01127683 -1.10626193 -57.941894 -63.384140
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10621898--1.10626193) × R
    4.29500000000971e-05 × 6371000     		dl = 273.634450000618m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10621898--1.10626193) × R
    4.29500000000971e-05 × 6371000     		dr = 273.634450000618m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.01137271--1.01127683) × cos(-1.10621898) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.448044984855221 × 6371000     		do = 273.688942105843m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.01137271--1.01127683) × cos(-1.10626193) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.448006586668965 × 6371000     		du = 273.66548651694m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10621898)-sin(-1.10626193))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.448044984855221-0.448006586668965)×R²
    abs(-1.01127683--1.01137271)×3.83981862557836e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.83981862557836e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.83981862557836e-05×40589641000000     		ar = 74887.5140275009m²