Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 22217 / 47802
↖ ↑ ↗
← S 63.376756°
W 57.958374°		 ← 273.74 m → S 63.376756°
W 57.952881°		 →
↑
273.70 m
↓
↑
273.70 m
↓
S 63.379217°
W 57.958374°		 ← 273.71 m →
74 918 m²		 S 63.379217°
W 57.952881°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22217 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47802 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.339012145996094 y=0.729408264160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.339012145996094 × 216)
    floor (0.339012145996094 × 65536)
    floor (22217.5)     		tx = 22217
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729408264160156 × 216)
    floor (0.729408264160156 × 65536)
    floor (47802.5)     		ty = 47802
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22217 / 47802 ti = "16/22217/47802"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22217/47802.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22217 ÷ 216
    22217 ÷ 65536     		x = 0.339004516601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47802 ÷ 216
    47802 ÷ 65536     		y = 0.729400634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.339004516601562 × 2 - 1) × π
    -0.321990966796875 × 3.1415926535     		Λ = -1.01156446
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729400634765625 × 2 - 1) × π
    -0.45880126953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.44136669777585
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.01156446} λ = -1.01156446}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44136669777585))-π/2
    2×atan(0.236604171214798)-π/2
    2×0.232331633546465-π/2
    0.464663267092931-1.57079632675     		φ = -1.10613306
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.01156446} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.958374°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10613306 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.376756°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22217 KachelY 47802 -1.01156446 -1.10613306 -57.958374 -63.376756
    Oben rechts KachelX + 1 22218 KachelY 47802 -1.01146858 -1.10613306 -57.952881 -63.376756
    Unten links KachelX 22217 KachelY + 1 47803 -1.01156446 -1.10617602 -57.958374 -63.379217
    Unten rechts KachelX + 1 22218 KachelY + 1 47803 -1.01146858 -1.10617602 -57.952881 -63.379217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10613306--1.10617602) × R
    4.29600000000363e-05 × 6371000     		dl = 273.698160000231m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10613306--1.10617602) × R
    4.29600000000363e-05 × 6371000     		dr = 273.698160000231m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.01156446--1.01146858) × cos(-1.10613306) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.448121796627583 × 6371000     		do = 273.735862690038m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.01156446--1.01146858) × cos(-1.10617602) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.448083391154884 × 6371000     		du = 273.712402650201m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10613306)-sin(-1.10617602))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.448121796627583-0.448083391154884)×R²
    abs(-1.01146858--1.01156446)×3.8405472698233e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.8405472698233e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.8405472698233e-05×40589641000000     		ar = 74917.7914710609m²