Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22215 / 47803
↖ ↑ ↗
← S 63.379217°
W 57.969360°		 ← 273.68 m → S 63.379217°
W 57.963867°		 →
↑
273.70 m
↓
↑
273.70 m
↓
S 63.381679°
W 57.969360°		 ← 273.66 m →
74 904 m²		 S 63.381679°
W 57.963867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22215 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47803 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.338981628417969 y=0.729423522949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.338981628417969 × 216)
    floor (0.338981628417969 × 65536)
    floor (22215.5)     		tx = 22215
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729423522949219 × 216)
    floor (0.729423522949219 × 65536)
    floor (47803.5)     		ty = 47803
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22215 / 47803 ti = "16/22215/47803"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22215/47803.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22215 ÷ 216
    22215 ÷ 65536     		x = 0.338973999023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47803 ÷ 216
    47803 ÷ 65536     		y = 0.729415893554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.338973999023438 × 2 - 1) × π
    -0.322052001953125 × 3.1415926535     		Λ = -1.01175620
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729415893554688 × 2 - 1) × π
    -0.458831787109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.44146257157509
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.01175620} λ = -1.01175620}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44146257157509))-π/2
    2×atan(0.23658148816136)-π/2
    2×0.232310152897427-π/2
    0.464620305794855-1.57079632675     		φ = -1.10617602
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.01175620} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.969360°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10617602 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.379217°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22215 KachelY 47803 -1.01175620 -1.10617602 -57.969360 -63.379217
    Oben rechts KachelX + 1 22216 KachelY 47803 -1.01166033 -1.10617602 -57.963867 -63.379217
    Unten links KachelX 22215 KachelY + 1 47804 -1.01175620 -1.10621898 -57.969360 -63.381679
    Unten rechts KachelX + 1 22216 KachelY + 1 47804 -1.01166033 -1.10621898 -57.963867 -63.381679
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10617602--1.10621898) × R
    4.29600000000363e-05 × 6371000     		dl = 273.698160000231m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10617602--1.10621898) × R
    4.29600000000363e-05 × 6371000     		dr = 273.698160000231m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.01175620--1.01166033) × cos(-1.10617602) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.448083391154884 × 6371000     		do = 273.683855257524m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.01175620--1.01166033) × cos(-1.10621898) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.448044984855221 × 6371000     		du = 273.660397159398m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10617602)-sin(-1.10621898))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.448083391154884-0.448044984855221)×R²
    abs(-1.01166033--1.01175620)×3.84062996637291e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.84062996637291e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.84062996637291e-05×40589641000000     		ar = 74903.5573981977m²