Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2221 / 6523
↖ ↑ ↗
← S 72.329130°
W 82.397461°		 ← 1 483.29 m → S 72.329130°
W 82.353516°		 →
↑
1 482.72 m
↓
↑
1 482.72 m
↓
S 72.342464°
W 82.397461°		 ← 1 482.20 m →
2 198 503 m²		 S 72.342464°
W 82.353516°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2221 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6523 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.27117919921875 y=0.79632568359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.27117919921875 × 213)
    floor (0.27117919921875 × 8192)
    floor (2221.5)     		tx = 2221
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.79632568359375 × 213)
    floor (0.79632568359375 × 8192)
    floor (6523.5)     		ty = 6523
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2221 / 6523 ti = "13/2221/6523"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2221/6523.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2221 ÷ 213
    2221 ÷ 8192     		x = 0.2711181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6523 ÷ 213
    6523 ÷ 8192     		y = 0.7962646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2711181640625 × 2 - 1) × π
    -0.457763671875 × 3.1415926535     		Λ = -1.43810699
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7962646484375 × 2 - 1) × π
    -0.592529296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.86148568604602
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.43810699} λ = -1.43810699}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.86148568604602))-π/2
    2×atan(0.155441521433482)-π/2
    2×0.154207434028467-π/2
    0.308414868056935-1.57079632675     		φ = -1.26238146
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.43810699} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.397461°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26238146 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.329130°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2221 KachelY 6523 -1.43810699 -1.26238146 -82.397461 -72.329130
    Oben rechts KachelX + 1 2222 KachelY 6523 -1.43734000 -1.26238146 -82.353516 -72.329130
    Unten links KachelX 2221 KachelY + 1 6524 -1.43810699 -1.26261419 -82.397461 -72.342464
    Unten rechts KachelX + 1 2222 KachelY + 1 6524 -1.43734000 -1.26261419 -82.353516 -72.342464
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26238146--1.26261419) × R
    0.000232730000000014 × 6371000     		dl = 1482.72283000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26238146--1.26261419) × R
    0.000232730000000014 × 6371000     		dr = 1482.72283000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.43810699--1.43734000) × cos(-1.26238146) × R
    0.000766990000000023 × 0.303548678259359 × 6371000     		do = 1483.28857950277m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.43810699--1.43734000) × cos(-1.26261419) × R
    0.000766990000000023 × 0.303326921188956 × 6371000     		du = 1482.20496506624m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26238146)-sin(-1.26261419))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.303548678259359-0.303326921188956)×R²
    abs(-1.43734000--1.43810699)×0.000221757070402229×R²
    0.000766990000000023×0.000221757070402229×6371000²
    0.000766990000000023×0.000221757070402229×40589641000000     		ar = 2198502.50030004m²