Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2220 / 1962
↖ ↑ ↗
← N  7.536764°
E 15.117188°		 ← 9 688.56 m → N  7.536764°
E 15.205078°		 →
↑
9 689.53 m
↓
↑
9 689.53 m
↓
N  7.449624°
E 15.117188°		 ← 9 690.50 m →
93 886 937 m²		 N  7.449624°
E 15.205078°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2220 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1962 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5421142578125 y=0.4791259765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5421142578125 × 212)
    floor (0.5421142578125 × 4096)
    floor (2220.5)     		tx = 2220
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4791259765625 × 212)
    floor (0.4791259765625 × 4096)
    floor (1962.5)     		ty = 1962
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2220 / 1962 ti = "12/2220/1962"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2220/1962.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2220 ÷ 212
    2220 ÷ 4096     		x = 0.5419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1962 ÷ 212
    1962 ÷ 4096     		y = 0.47900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5419921875 × 2 - 1) × π
    0.083984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.26384470
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.47900390625 × 2 - 1) × π
    0.0419921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.131922347754395
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26384470} λ = 0.26384470}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.131922347754395))-π/2
    2×atan(1.14101971308404)-π/2
    2×0.851168839579182-π/2
    1.70233767915836-1.57079632675     		φ = 0.13154135
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26384470} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.117188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13154135 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.536764°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2220 KachelY 1962 0.26384470 0.13154135 15.117188 7.536764
    Oben rechts KachelX + 1 2221 KachelY 1962 0.26537868 0.13154135 15.205078 7.536764
    Unten links KachelX 2220 KachelY + 1 1963 0.26384470 0.13002047 15.117188 7.449624
    Unten rechts KachelX + 1 2221 KachelY + 1 1963 0.26537868 0.13002047 15.205078 7.449624
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13154135-0.13002047) × R
    0.00152088 × 6371000     		dl = 9689.52648000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13154135-0.13002047) × R
    0.00152088 × 6371000     		dr = 9689.52648000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26384470-0.26537868) × cos(0.13154135) × R
    0.00153397999999999 × 0.991360904351957 × 6371000     		do = 9688.55681416828m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26384470-0.26537868) × cos(0.13002047) × R
    0.00153397999999999 × 0.991559239896146 × 6371000     		du = 9690.49514477998m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13154135)-sin(0.13002047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991360904351957-0.991559239896146)×R²
    abs(0.26537868-0.26384470)×0.000198335544188799×R²
    0.00153397999999999×0.000198335544188799×6371000²
    0.00153397999999999×0.000198335544188799×40589641000000     		ar = 93886936.6540649m²