Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 2220 / 108
↖ ↑ ↗
← N 84.624334°
W 82.441406°		 ← 457.79 m → N 84.624334°
W 82.397461°		 →
↑
457.95 m
↓
↑
457.95 m
↓
N 84.620215°
W 82.441406°		 ← 458.14 m →
209 725 m²		 N 84.620215°
W 82.397461°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2220 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 108 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.27105712890625 y=0.01324462890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.27105712890625 × 213)
    floor (0.27105712890625 × 8192)
    floor (2220.5)     		tx = 2220
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.01324462890625 × 213)
    floor (0.01324462890625 × 8192)
    floor (108.5)     		ty = 108
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2220 / 108 ti = "13/2220/108"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2220/108.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2220 ÷ 213
    2220 ÷ 8192     		x = 0.27099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 108 ÷ 213
    108 ÷ 8192     		y = 0.01318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27099609375 × 2 - 1) × π
    -0.4580078125 × 3.1415926535     		Λ = -1.43887398
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.01318359375 × 2 - 1) × π
    0.9736328125 × 3.1415926535     		Φ = 3.05875769095654
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.43887398} λ = -1.43887398}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(3.05875769095654))-π/2
    2×atan(21.3010781958247)-π/2
    2×1.52388478931067-π/2
    3.04776957862135-1.57079632675     		φ = 1.47697325
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.43887398} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.441406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.47697325 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 84.624334°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2220 KachelY 108 -1.43887398 1.47697325 -82.441406 84.624334
    Oben rechts KachelX + 1 2221 KachelY 108 -1.43810699 1.47697325 -82.397461 84.624334
    Unten links KachelX 2220 KachelY + 1 109 -1.43887398 1.47690137 -82.441406 84.620215
    Unten rechts KachelX + 1 2221 KachelY + 1 109 -1.43810699 1.47690137 -82.397461 84.620215
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.47697325-1.47690137) × R
    7.18799999999131e-05 × 6371000     		dl = 457.947479999447m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.47697325-1.47690137) × R
    7.18799999999131e-05 × 6371000     		dr = 457.947479999447m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.43887398--1.43810699) × cos(1.47697325) × R
    0.000766990000000023 × 0.0936854868772696 × 6371000     		do = 457.793502996175m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.43887398--1.43810699) × cos(1.47690137) × R
    0.000766990000000023 × 0.0937570504956502 × 6371000     		du = 458.1431981372m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.47697325)-sin(1.47690137))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.0936854868772696-0.0937570504956502)×R²
    abs(-1.43810699--1.43887398)×7.15636183805796e-05×R²
    0.000766990000000023×7.15636183805796e-05×6371000²
    0.000766990000000023×7.15636183805796e-05×40589641000000     		ar = 209725.452153085m²