Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22199 / 47847
↖ ↑ ↗
← S 63.487315°
W 58.057251°		 ← 272.65 m → S 63.487315°
W 58.051758°		 →
↑
272.62 m
↓
↑
272.62 m
↓
S 63.489767°
W 58.057251°		 ← 272.63 m →
74 326 m²		 S 63.489767°
W 58.051758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22199 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47847 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.338737487792969 y=0.730094909667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.338737487792969 × 216)
    floor (0.338737487792969 × 65536)
    floor (22199.5)     		tx = 22199
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730094909667969 × 216)
    floor (0.730094909667969 × 65536)
    floor (47847.5)     		ty = 47847
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22199 / 47847 ti = "16/22199/47847"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22199/47847.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22199 ÷ 216
    22199 ÷ 65536     		x = 0.338729858398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47847 ÷ 216
    47847 ÷ 65536     		y = 0.730087280273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.338729858398438 × 2 - 1) × π
    -0.322540283203125 × 3.1415926535     		Λ = -1.01329018
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730087280273438 × 2 - 1) × π
    -0.460174560546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.44568101874165
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.01329018} λ = -1.01329018}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44568101874165))-π/2
    2×atan(0.235585583714977)-π/2
    2×0.231366825288089-π/2
    0.462733650576178-1.57079632675     		φ = -1.10806268
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.01329018} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -58.057251°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10806268 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.487315°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22199 KachelY 47847 -1.01329018 -1.10806268 -58.057251 -63.487315
    Oben rechts KachelX + 1 22200 KachelY 47847 -1.01319431 -1.10806268 -58.051758 -63.487315
    Unten links KachelX 22199 KachelY + 1 47848 -1.01329018 -1.10810547 -58.057251 -63.489767
    Unten rechts KachelX + 1 22200 KachelY + 1 47848 -1.01319431 -1.10810547 -58.051758 -63.489767
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10806268--1.10810547) × R
    4.27899999999592e-05 × 6371000     		dl = 272.61508999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10806268--1.10810547) × R
    4.27899999999592e-05 × 6371000     		dr = 272.61508999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.01329018--1.01319431) × cos(-1.10806268) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.446395936180492 × 6371000     		do = 272.653178396739m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.01329018--1.01319431) × cos(-1.10810547) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.44635764575849 × 6371000     		du = 272.629791075272m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10806268)-sin(-1.10810547))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.446395936180492-0.44635764575849)×R²
    abs(-1.01319431--1.01329018)×3.8290422002929e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.8290422002929e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.8290422002929e-05×40589641000000     		ar = 74326.1829101666m²