Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 22190 / 13930
↖ ↑ ↗
← N 80.367112°
W119.053345°		 ← 51.11 m → N 80.367112°
W119.050598°		 →
↑
51.10 m
↓
↑
51.10 m
↓
N 80.366652°
W119.053345°		 ← 51.11 m →
2 611 m²		 N 80.366652°
W119.050598°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22190 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13930 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.169300079345703 y=0.106281280517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.169300079345703 × 217)
    floor (0.169300079345703 × 131072)
    floor (22190.5)     		tx = 22190
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106281280517578 × 217)
    floor (0.106281280517578 × 131072)
    floor (13930.5)     		ty = 13930
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 22190 / 13930 ti = "17/22190/13930"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/22190/13930.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22190 ÷ 217
    22190 ÷ 131072     		x = 0.169296264648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13930 ÷ 217
    13930 ÷ 131072     		y = 0.106277465820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.169296264648438 × 2 - 1) × π
    -0.661407470703125 × 3.1415926535     		Λ = -2.07787285
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.106277465820312 × 2 - 1) × π
    0.787445068359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.47383164179262
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.07787285} λ = -2.07787285}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47383164179262))-π/2
    2×atan(11.8678331295456)-π/2
    2×1.48673351936089-π/2
    2.97346703872178-1.57079632675     		φ = 1.40267071
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.07787285} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -119.053345°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40267071 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.367112°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22190 KachelY 13930 -2.07787285 1.40267071 -119.053345 80.367112
    Oben rechts KachelX + 1 22191 KachelY 13930 -2.07782491 1.40267071 -119.050598 80.367112
    Unten links KachelX 22190 KachelY + 1 13931 -2.07787285 1.40266269 -119.053345 80.366652
    Unten rechts KachelX + 1 22191 KachelY + 1 13931 -2.07782491 1.40266269 -119.050598 80.366652
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40267071-1.40266269) × R
    8.01999999988645e-06 × 6371000     		dl = 51.0954199992766m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40267071-1.40266269) × R
    8.01999999988645e-06 × 6371000     		dr = 51.0954199992766m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.07787285--2.07782491) × cos(1.40267071) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.167334689419287 × 6371000     		do = 51.1083213435224m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.07787285--2.07782491) × cos(1.40266269) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.167342596333092 × 6371000     		du = 51.1107363185223m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40267071)-sin(1.40266269))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167334689419287-0.167342596333092)×R²
    abs(-2.07782491--2.07787285)×7.90691380481157e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.90691380481157e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.90691380481157e-06×40589641000000     		ar = 2611.46284157603m²