Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2219 / 2371
↖ ↑ ↗
← S 27.293689°
E 15.029297°		 ← 8 684.99 m → S 27.293689°
E 15.117188°		 →
↑
8 681.89 m
↓
↑
8 681.89 m
↓
S 27.371767°
E 15.029297°		 ← 8 678.88 m →
75 375 627 m²		 S 27.371767°
E 15.117188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2219 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2371 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5418701171875 y=0.5789794921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5418701171875 × 212)
    floor (0.5418701171875 × 4096)
    floor (2219.5)     		tx = 2219
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5789794921875 × 212)
    floor (0.5789794921875 × 4096)
    floor (2371.5)     		ty = 2371
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2219 / 2371 ti = "12/2219/2371"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2219/2371.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2219 ÷ 212
    2219 ÷ 4096     		x = 0.541748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2371 ÷ 212
    2371 ÷ 4096     		y = 0.578857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.541748046875 × 2 - 1) × π
    0.08349609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.26231071
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.578857421875 × 2 - 1) × π
    -0.15771484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.4954757944729
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26231071} λ = 0.26231071}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.4954757944729))-π/2
    2×atan(0.609280945814282)-π/2
    2×0.547215792408854-π/2
    1.09443158481771-1.57079632675     		φ = -0.47636474
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26231071} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.029297°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47636474 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.293689°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2219 KachelY 2371 0.26231071 -0.47636474 15.029297 -27.293689
    Oben rechts KachelX + 1 2220 KachelY 2371 0.26384470 -0.47636474 15.117188 -27.293689
    Unten links KachelX 2219 KachelY + 1 2372 0.26231071 -0.47772746 15.029297 -27.371767
    Unten rechts KachelX + 1 2220 KachelY + 1 2372 0.26384470 -0.47772746 15.117188 -27.371767
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47636474--0.47772746) × R
    0.00136271999999998 × 6371000     		dl = 8681.8891199999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47636474--0.47772746) × R
    0.00136271999999998 × 6371000     		dr = 8681.8891199999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26231071-0.26384470) × cos(-0.47636474) × R
    0.00153398999999999 × 0.888667745584006 × 6371000     		do = 8684.99456869333m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26231071-0.26384470) × cos(-0.47772746) × R
    0.00153398999999999 × 0.88804204310942 × 6371000     		du = 8678.87954694262m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47636474)-sin(-0.47772746))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.888667745584006-0.88804204310942)×R²
    abs(0.26384470-0.26231071)×0.000625702474586043×R²
    0.00153398999999999×0.000625702474586043×6371000²
    0.00153398999999999×0.000625702474586043×40589641000000     		ar = 75375626.5472109m²