Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 22189 / 13929
↖ ↑ ↗
← N 80.367571°
W119.056091°		 ← 51.11 m → N 80.367571°
W119.053345°		 →
↑
51.10 m
↓
↑
51.10 m
↓
N 80.367112°
W119.056091°		 ← 51.11 m →
2 611 m²		 N 80.367112°
W119.053345°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22189 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13929 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.169292449951172 y=0.106273651123047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.169292449951172 × 217)
    floor (0.169292449951172 × 131072)
    floor (22189.5)     		tx = 22189
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106273651123047 × 217)
    floor (0.106273651123047 × 131072)
    floor (13929.5)     		ty = 13929
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 22189 / 13929 ti = "17/22189/13929"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/22189/13929.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22189 ÷ 217
    22189 ÷ 131072     		x = 0.169288635253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13929 ÷ 217
    13929 ÷ 131072     		y = 0.106269836425781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.169288635253906 × 2 - 1) × π
    -0.661422729492188 × 3.1415926535     		Λ = -2.07792079
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.106269836425781 × 2 - 1) × π
    0.787460327148438 × 3.1415926535     		Φ = 2.47387957869224
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.07792079} λ = -2.07792079}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47387957869224))-π/2
    2×atan(11.8684020503071)-π/2
    2×1.48673753001918-π/2
    2.97347506003835-1.57079632675     		φ = 1.40267873
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.07792079} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -119.056091°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40267873 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.367571°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22189 KachelY 13929 -2.07792079 1.40267873 -119.056091 80.367571
    Oben rechts KachelX + 1 22190 KachelY 13929 -2.07787285 1.40267873 -119.053345 80.367571
    Unten links KachelX 22189 KachelY + 1 13930 -2.07792079 1.40267071 -119.056091 80.367112
    Unten rechts KachelX + 1 22190 KachelY + 1 13930 -2.07787285 1.40267071 -119.053345 80.367112
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40267873-1.40267071) × R
    8.0200000001085e-06 × 6371000     		dl = 51.0954200006912m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40267873-1.40267071) × R
    8.0200000001085e-06 × 6371000     		dr = 51.0954200006912m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.07792079--2.07787285) × cos(1.40267873) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.167326782494719 × 6371000     		do = 51.1059063652351m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.07792079--2.07787285) × cos(1.40267071) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.167334689419287 × 6371000     		du = 51.1083213435224m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40267873)-sin(1.40267071))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167326782494719-0.167334689419287)×R²
    abs(-2.07787285--2.07792079)×7.90692456803521e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.90692456803521e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.90692456803521e-06×40589641000000     		ar = 2611.33944732079m²