Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 22188 / 47884
↖ ↑ ↗
← S 63.577900°
W 58.117676°		 ← 271.82 m → S 63.577900°
W 58.112182°		 →
↑
271.79 m
↓
↑
271.79 m
↓
S 63.580344°
W 58.117676°		 ← 271.79 m →
73 873 m²		 S 63.580344°
W 58.112182°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22188 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47884 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.338569641113281 y=0.730659484863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.338569641113281 × 216)
    floor (0.338569641113281 × 65536)
    floor (22188.5)     		tx = 22188
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730659484863281 × 216)
    floor (0.730659484863281 × 65536)
    floor (47884.5)     		ty = 47884
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22188 / 47884 ti = "16/22188/47884"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22188/47884.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22188 ÷ 216
    22188 ÷ 65536     		x = 0.33856201171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47884 ÷ 216
    47884 ÷ 65536     		y = 0.73065185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.33856201171875 × 2 - 1) × π
    -0.3228759765625 × 3.1415926535     		Λ = -1.01434480
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73065185546875 × 2 - 1) × π
    -0.4613037109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.44922834931354
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.01434480} λ = -1.01434480}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44922834931354))-π/2
    2×atan(0.234751364272423)-π/2
    2×0.230576323935495-π/2
    0.46115264787099-1.57079632675     		φ = -1.10964368
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.01434480} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -58.117676°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10964368 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.577900°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22188 KachelY 47884 -1.01434480 -1.10964368 -58.117676 -63.577900
    Oben rechts KachelX + 1 22189 KachelY 47884 -1.01424892 -1.10964368 -58.112182 -63.577900
    Unten links KachelX 22188 KachelY + 1 47885 -1.01434480 -1.10968634 -58.117676 -63.580344
    Unten rechts KachelX + 1 22189 KachelY + 1 47885 -1.01424892 -1.10968634 -58.112182 -63.580344
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10964368--1.10968634) × R
    4.26600000000832e-05 × 6371000     		dl = 271.78686000053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10964368--1.10968634) × R
    4.26600000000832e-05 × 6371000     		dr = 271.78686000053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.01434480--1.01424892) × cos(-1.10964368) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.444980643862646 × 6371000     		do = 271.817084874672m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.01434480--1.01424892) × cos(-1.10968634) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.444942439713374 × 6371000     		du = 271.793747813547m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10964368)-sin(-1.10968634))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.444980643862646-0.444942439713374)×R²
    abs(-1.01424892--1.01434480)×3.82041492719698e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.82041492719698e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.82041492719698e-05×40589641000000     		ar = 73873.1406503829m²