Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 22173 / 13955
↖ ↑ ↗
← N 80.355615°
W119.100037°		 ← 51.17 m → N 80.355615°
W119.097290°		 →
↑
51.22 m
↓
↑
51.22 m
↓
N 80.355155°
W119.100037°		 ← 51.17 m →
2 621 m²		 N 80.355155°
W119.097290°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22173 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13955 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.169170379638672 y=0.106472015380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.169170379638672 × 217)
    floor (0.169170379638672 × 131072)
    floor (22173.5)     		tx = 22173
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106472015380859 × 217)
    floor (0.106472015380859 × 131072)
    floor (13955.5)     		ty = 13955
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 22173 / 13955 ti = "17/22173/13955"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/22173/13955.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22173 ÷ 217
    22173 ÷ 131072     		x = 0.169166564941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13955 ÷ 217
    13955 ÷ 131072     		y = 0.106468200683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.169166564941406 × 2 - 1) × π
    -0.661666870117188 × 3.1415926535     		Λ = -2.07868778
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.106468200683594 × 2 - 1) × π
    0.787063598632812 × 3.1415926535     		Φ = 2.47263321930212
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.07868778} λ = -2.07868778}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47263321930212))-π/2
    2×atan(11.8536189703949)-π/2
    2×1.48663319127669-π/2
    2.97326638255338-1.57079632675     		φ = 1.40247006
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.07868778} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -119.100037°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40247006 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.355615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22173 KachelY 13955 -2.07868778 1.40247006 -119.100037 80.355615
    Oben rechts KachelX + 1 22174 KachelY 13955 -2.07863984 1.40247006 -119.097290 80.355615
    Unten links KachelX 22173 KachelY + 1 13956 -2.07868778 1.40246202 -119.100037 80.355155
    Unten rechts KachelX + 1 22174 KachelY + 1 13956 -2.07863984 1.40246202 -119.097290 80.355155
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40247006-1.40246202) × R
    8.03999999998695e-06 × 6371000     		dl = 51.2228399999168m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40247006-1.40246202) × R
    8.03999999998695e-06 × 6371000     		dr = 51.2228399999168m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.07868778--2.07863984) × cos(1.40247006) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.167532506914162 × 6371000     		do = 51.1687398982795m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.07868778--2.07863984) × cos(1.40246202) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.167540433275828 × 6371000     		du = 51.171160813157m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40247006)-sin(1.40246202))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167532506914162-0.167540433275828)×R²
    abs(-2.07863984--2.07868778)×7.92636166635496e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.92636166635496e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.92636166635496e-06×40589641000000     		ar = 2621.07018000941m²