Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2217 / 3241
↖ ↑ ↗
← S 71.773941°
E 14.853515°		 ← 3 056.67 m → S 71.773941°
E 14.941406°		 →
↑
3 054.45 m
↓
↑
3 054.45 m
↓
S 71.801410°
E 14.853515°		 ← 3 052.22 m →
9 329 635 m²		 S 71.801410°
E 14.941406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2217 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3241 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5413818359375 y=0.7913818359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5413818359375 × 212)
    floor (0.5413818359375 × 4096)
    floor (2217.5)     		tx = 2217
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7913818359375 × 212)
    floor (0.7913818359375 × 4096)
    floor (3241.5)     		ty = 3241
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2217 / 3241 ti = "12/2217/3241"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2217/3241.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2217 ÷ 212
    2217 ÷ 4096     		x = 0.541259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3241 ÷ 212
    3241 ÷ 4096     		y = 0.791259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.541259765625 × 2 - 1) × π
    0.08251953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.25924275
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.791259765625 × 2 - 1) × π
    -0.58251953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.83003907989526
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25924275} λ = 0.25924275}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.83003907989526))-π/2
    2×atan(0.160407298952238)-π/2
    2×0.1590523692966-π/2
    0.318104738593199-1.57079632675     		φ = -1.25269159
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25924275} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.853515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25269159 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.773941°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2217 KachelY 3241 0.25924275 -1.25269159 14.853515 -71.773941
    Oben rechts KachelX + 1 2218 KachelY 3241 0.26077673 -1.25269159 14.941406 -71.773941
    Unten links KachelX 2217 KachelY + 1 3242 0.25924275 -1.25317102 14.853515 -71.801410
    Unten rechts KachelX + 1 2218 KachelY + 1 3242 0.26077673 -1.25317102 14.941406 -71.801410
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25269159--1.25317102) × R
    0.000479429999999947 × 6371000     		dl = 3054.44852999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25269159--1.25317102) × R
    0.000479429999999947 × 6371000     		dr = 3054.44852999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25924275-0.26077673) × cos(-1.25269159) × R
    0.00153397999999999 × 0.312766945767353 × 6371000     		do = 3056.66716365191m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25924275-0.26077673) × cos(-1.25317102) × R
    0.00153397999999999 × 0.312311532890939 × 6371000     		du = 3052.21641972236m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25269159)-sin(-1.25317102))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.312766945767353-0.312311532890939)×R²
    abs(0.26077673-0.25924275)×0.000455412876413486×R²
    0.00153397999999999×0.000455412876413486×6371000²
    0.00153397999999999×0.000455412876413486×40589641000000     		ar = 9329635.41928769m²