Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2217 / 1963
↖ ↑ ↗
← N  7.449624°
E 14.853515°		 ← 9 690.50 m → N  7.449624°
E 14.941406°		 →
↑
9 691.44 m
↓
↑
9 691.44 m
↓
N  7.362467°
E 14.853515°		 ← 9 692.41 m →
93 924 135 m²		 N  7.362467°
E 14.941406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2217 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1963 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5413818359375 y=0.4793701171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5413818359375 × 212)
    floor (0.5413818359375 × 4096)
    floor (2217.5)     		tx = 2217
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4793701171875 × 212)
    floor (0.4793701171875 × 4096)
    floor (1963.5)     		ty = 1963
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2217 / 1963 ti = "12/2217/1963"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2217/1963.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2217 ÷ 212
    2217 ÷ 4096     		x = 0.541259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1963 ÷ 212
    1963 ÷ 4096     		y = 0.479248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.541259765625 × 2 - 1) × π
    0.08251953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.25924275
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.479248046875 × 2 - 1) × π
    0.04150390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.130388366966553
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25924275} λ = 0.25924275}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.130388366966553))-π/2
    2×atan(1.13927075254451)-π/2
    2×0.85040839908405-π/2
    1.7008167981681-1.57079632675     		φ = 0.13002047
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25924275} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.853515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13002047 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.449624°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2217 KachelY 1963 0.25924275 0.13002047 14.853515 7.449624
    Oben rechts KachelX + 1 2218 KachelY 1963 0.26077673 0.13002047 14.941406 7.449624
    Unten links KachelX 2217 KachelY + 1 1964 0.25924275 0.12849929 14.853515 7.362467
    Unten rechts KachelX + 1 2218 KachelY + 1 1964 0.26077673 0.12849929 14.941406 7.362467
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13002047-0.12849929) × R
    0.00152118000000001 × 6371000     		dl = 9691.43778000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13002047-0.12849929) × R
    0.00152118000000001 × 6371000     		dr = 9691.43778000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25924275-0.26077673) × cos(0.13002047) × R
    0.00153397999999999 × 0.991559239896146 × 6371000     		do = 9690.49514477998m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25924275-0.26077673) × cos(0.12849929) × R
    0.00153397999999999 × 0.991755320332752 × 6371000     		du = 9692.41143625552m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13002047)-sin(0.12849929))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991559239896146-0.991755320332752)×R²
    abs(0.26077673-0.25924275)×0.000196080436605572×R²
    0.00153397999999999×0.000196080436605572×6371000²
    0.00153397999999999×0.000196080436605572×40589641000000     		ar = 93924134.6744443m²