Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22169 / 47881
↖ ↑ ↗
← S 63.570566°
W 58.222046°		 ← 271.89 m → S 63.570566°
W 58.216552°		 →
↑
271.85 m
↓
↑
271.85 m
↓
S 63.573011°
W 58.222046°		 ← 271.86 m →
73 909 m²		 S 63.573011°
W 58.216552°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22169 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47881 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.338279724121094 y=0.730613708496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.338279724121094 × 216)
    floor (0.338279724121094 × 65536)
    floor (22169.5)     		tx = 22169
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730613708496094 × 216)
    floor (0.730613708496094 × 65536)
    floor (47881.5)     		ty = 47881
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22169 / 47881 ti = "16/22169/47881"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22169/47881.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22169 ÷ 216
    22169 ÷ 65536     		x = 0.338272094726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47881 ÷ 216
    47881 ÷ 65536     		y = 0.730606079101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.338272094726562 × 2 - 1) × π
    -0.323455810546875 × 3.1415926535     		Λ = -1.01616640
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730606079101562 × 2 - 1) × π
    -0.461212158203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.44894072791582
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.01616640} λ = -1.01616640}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44894072791582))-π/2
    2×atan(0.234818893498891)-π/2
    2×0.230640325155084-π/2
    0.461280650310168-1.57079632675     		φ = -1.10951568
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.01616640} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -58.222046°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10951568 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.570566°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22169 KachelY 47881 -1.01616640 -1.10951568 -58.222046 -63.570566
    Oben rechts KachelX + 1 22170 KachelY 47881 -1.01607052 -1.10951568 -58.216552 -63.570566
    Unten links KachelX 22169 KachelY + 1 47882 -1.01616640 -1.10955835 -58.222046 -63.573011
    Unten rechts KachelX + 1 22170 KachelY + 1 47882 -1.01607052 -1.10955835 -58.216552 -63.573011
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10951568--1.10955835) × R
    4.26700000000224e-05 × 6371000     		dl = 271.850570000143m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10951568--1.10955835) × R
    4.26700000000224e-05 × 6371000     		dr = 271.850570000143m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.01616640--1.01607052) × cos(-1.10951568) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.445095269360991 × 6371000     		do = 271.887104029982m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.01616640--1.01607052) × cos(-1.10955835) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.445057058686714 × 6371000     		du = 271.863762983048m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10951568)-sin(-1.10955835))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.445095269360991-0.445057058686714)×R²
    abs(-1.01607052--1.01616640)×3.82106742774502e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.82106742774502e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.82106742774502e-05×40589641000000     		ar = 73909.4915789837m²