Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 22165 / 13953
↖ ↑ ↗
← N 80.356536°
W119.122009°		 ← 51.15 m → N 80.356536°
W119.119263°		 →
↑
51.16 m
↓
↑
51.16 m
↓
N 80.356075°
W119.122009°		 ← 51.16 m →
2 617 m²		 N 80.356075°
W119.119263°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22165 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13953 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.169109344482422 y=0.106456756591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.169109344482422 × 217)
    floor (0.169109344482422 × 131072)
    floor (22165.5)     		tx = 22165
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106456756591797 × 217)
    floor (0.106456756591797 × 131072)
    floor (13953.5)     		ty = 13953
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 22165 / 13953 ti = "17/22165/13953"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/22165/13953.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22165 ÷ 217
    22165 ÷ 131072     		x = 0.169105529785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13953 ÷ 217
    13953 ÷ 131072     		y = 0.106452941894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.169105529785156 × 2 - 1) × π
    -0.661788940429688 × 3.1415926535     		Λ = -2.07907127
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.106452941894531 × 2 - 1) × π
    0.787094116210938 × 3.1415926535     		Φ = 2.47272909310136
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.07907127} λ = -2.07907127}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47272909310136))-π/2
    2×atan(11.85475547636)-π/2
    2×1.48664122188633-π/2
    2.97328244377265-1.57079632675     		φ = 1.40248612
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.07907127} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -119.122009°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40248612 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.356536°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22165 KachelY 13953 -2.07907127 1.40248612 -119.122009 80.356536
    Oben rechts KachelX + 1 22166 KachelY 13953 -2.07902334 1.40248612 -119.119263 80.356536
    Unten links KachelX 22165 KachelY + 1 13954 -2.07907127 1.40247809 -119.122009 80.356075
    Unten rechts KachelX + 1 22166 KachelY + 1 13954 -2.07902334 1.40247809 -119.119263 80.356075
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40248612-1.40247809) × R
    8.03000000004772e-06 × 6371000     		dl = 51.159130000304m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40248612-1.40247809) × R
    8.03000000004772e-06 × 6371000     		dr = 51.159130000304m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.07907127--2.07902334) × cos(1.40248612) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.167516673875726 × 6371000     		do = 51.1532315935709m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.07907127--2.07902334) × cos(1.40247809) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.167524590400345 × 6371000     		du = 51.1556489995992m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40248612)-sin(1.40247809))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167516673875726-0.167524590400345)×R²
    abs(-2.07902334--2.07907127)×7.91652461912262e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.91652461912262e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.91652461912262e-06×40589641000000     		ar = 2617.01666143312m²