Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22163 / 47857
↖ ↑ ↗
← S 63.511826°
W 58.255005°		 ← 272.42 m → S 63.511826°
W 58.249512°		 →
↑
272.42 m
↓
↑
272.42 m
↓
S 63.514276°
W 58.255005°		 ← 272.40 m →
74 210 m²		 S 63.514276°
W 58.249512°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22163 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47857 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.338188171386719 y=0.730247497558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.338188171386719 × 216)
    floor (0.338188171386719 × 65536)
    floor (22163.5)     		tx = 22163
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730247497558594 × 216)
    floor (0.730247497558594 × 65536)
    floor (47857.5)     		ty = 47857
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22163 / 47857 ti = "16/22163/47857"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22163/47857.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22163 ÷ 216
    22163 ÷ 65536     		x = 0.338180541992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47857 ÷ 216
    47857 ÷ 65536     		y = 0.730239868164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.338180541992188 × 2 - 1) × π
    -0.323638916015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.01674164
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730239868164062 × 2 - 1) × π
    -0.460479736328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.44663975673405
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.01674164} λ = -1.01674164}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44663975673405))-π/2
    2×atan(0.23535982710342)-π/2
    2×0.2311529286866-π/2
    0.4623058573732-1.57079632675     		φ = -1.10849047
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.01674164} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -58.255005°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10849047 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.511826°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22163 KachelY 47857 -1.01674164 -1.10849047 -58.255005 -63.511826
    Oben rechts KachelX + 1 22164 KachelY 47857 -1.01664577 -1.10849047 -58.249512 -63.511826
    Unten links KachelX 22163 KachelY + 1 47858 -1.01674164 -1.10853323 -58.255005 -63.514276
    Unten rechts KachelX + 1 22164 KachelY + 1 47858 -1.01664577 -1.10853323 -58.249512 -63.514276
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10849047--1.10853323) × R
    4.27599999999195e-05 × 6371000     		dl = 272.423959999487m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10849047--1.10853323) × R
    4.27599999999195e-05 × 6371000     		dr = 272.423959999487m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.01674164--1.01664577) × cos(-1.10849047) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.446013093644468 × 6371000     		do = 272.4193428579m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.01674164--1.01664577) × cos(-1.10853323) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.445974821906347 × 6371000     		du = 272.395966948319m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10849047)-sin(-1.10853323))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.446013093644468-0.445974821906347)×R²
    abs(-1.01664577--1.01674164)×3.82717381206543e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.82717381206543e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.82717381206543e-05×40589641000000     		ar = 74210.3720940593m²