Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22161 / 47594
↖ ↑ ↗
← S 62.860158°
W 58.265991°		 ← 278.65 m → S 62.860158°
W 58.260498°		 →
↑
278.60 m
↓
↑
278.60 m
↓
S 62.862663°
W 58.265991°		 ← 278.62 m →
77 629 m²		 S 62.862663°
W 58.260498°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22161 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47594 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.338157653808594 y=0.726234436035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.338157653808594 × 216)
    floor (0.338157653808594 × 65536)
    floor (22161.5)     		tx = 22161
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726234436035156 × 216)
    floor (0.726234436035156 × 65536)
    floor (47594.5)     		ty = 47594
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22161 / 47594 ti = "16/22161/47594"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22161/47594.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22161 ÷ 216
    22161 ÷ 65536     		x = 0.338150024414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47594 ÷ 216
    47594 ÷ 65536     		y = 0.726226806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.338150024414062 × 2 - 1) × π
    -0.323699951171875 × 3.1415926535     		Λ = -1.01693339
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.726226806640625 × 2 - 1) × π
    -0.45245361328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.42142494753391
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.01693339} λ = -1.01693339}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42142494753391))-π/2
    2×atan(0.241369832385422)-π/2
    2×0.236839804788391-π/2
    0.473679609576781-1.57079632675     		φ = -1.09711672
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.01693339} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -58.265991°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09711672 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.860158°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22161 KachelY 47594 -1.01693339 -1.09711672 -58.265991 -62.860158
    Oben rechts KachelX + 1 22162 KachelY 47594 -1.01683751 -1.09711672 -58.260498 -62.860158
    Unten links KachelX 22161 KachelY + 1 47595 -1.01693339 -1.09716045 -58.265991 -62.862663
    Unten rechts KachelX + 1 22162 KachelY + 1 47595 -1.01683751 -1.09716045 -58.260498 -62.862663
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09711672--1.09716045) × R
    4.37300000000196e-05 × 6371000     		dl = 278.603830000125m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09711672--1.09716045) × R
    4.37300000000196e-05 × 6371000     		dr = 278.603830000125m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.01693339--1.01683751) × cos(-1.09711672) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.456163832782567 × 6371000     		do = 278.648352377521m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.01693339--1.01683751) × cos(-1.09716045) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.456124917202521 × 6371000     		du = 278.624580737854m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09711672)-sin(-1.09716045))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.456163832782567-0.456124917202521)×R²
    abs(-1.01683751--1.01693339)×3.89155800459284e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.89155800459284e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.89155800459284e-05×40589641000000     		ar = 77629.1867730294m²