Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2216 / 3240
↖ ↑ ↗
← S 71.746432°
E 14.765625°		 ← 3 061.12 m → S 71.746432°
E 14.853515°		 →
↑
3 058.91 m
↓
↑
3 058.91 m
↓
S 71.773941°
E 14.765625°		 ← 3 056.67 m →
9 356 881 m²		 S 71.773941°
E 14.853515°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3240 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5411376953125 y=0.7911376953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5411376953125 × 212)
    floor (0.5411376953125 × 4096)
    floor (2216.5)     		tx = 2216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7911376953125 × 212)
    floor (0.7911376953125 × 4096)
    floor (3240.5)     		ty = 3240
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2216 / 3240 ti = "12/2216/3240"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2216/3240.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2216 ÷ 212
    2216 ÷ 4096     		x = 0.541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3240 ÷ 212
    3240 ÷ 4096     		y = 0.791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.541015625 × 2 - 1) × π
    0.08203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.25770877
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.791015625 × 2 - 1) × π
    -0.58203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.82850509910742
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25770877} λ = 0.25770877}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.82850509910742))-π/2
    2×atan(0.160653549490571)-π/2
    2×0.159292433378349-π/2
    0.318584866756697-1.57079632675     		φ = -1.25221146
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25770877} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.765625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25221146 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.746432°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2216 KachelY 3240 0.25770877 -1.25221146 14.765625 -71.746432
    Oben rechts KachelX + 1 2217 KachelY 3240 0.25924275 -1.25221146 14.853515 -71.746432
    Unten links KachelX 2216 KachelY + 1 3241 0.25770877 -1.25269159 14.765625 -71.773941
    Unten rechts KachelX + 1 2217 KachelY + 1 3241 0.25924275 -1.25269159 14.853515 -71.773941
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25221146--1.25269159) × R
    0.000480129999999912 × 6371000     		dl = 3058.90822999944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25221146--1.25269159) × R
    0.000480129999999912 × 6371000     		dr = 3058.90822999944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25770877-0.25924275) × cos(-1.25221146) × R
    0.00153398000000005 × 0.313222951529119 × 6371000     		do = 3061.12370184216m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25770877-0.25924275) × cos(-1.25269159) × R
    0.00153398000000005 × 0.312766945767353 × 6371000     		du = 3056.66716365202m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25221146)-sin(-1.25269159))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.313222951529119-0.312766945767353)×R²
    abs(0.25924275-0.25770877)×0.000456005761766409×R²
    0.00153398000000005×0.000456005761766409×6371000²
    0.00153398000000005×0.000456005761766409×40589641000000     		ar = 9356880.59369028m²