Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2216 / 2408
↖ ↑ ↗
← S 30.145127°
E 14.765625°		 ← 8 451.25 m → S 30.145127°
E 14.853515°		 →
↑
8 448.01 m
↓
↑
8 448.01 m
↓
S 30.221102°
E 14.765625°		 ← 8 444.73 m →
71 368 734 m²		 S 30.221102°
E 14.853515°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2408 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5411376953125 y=0.5880126953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5411376953125 × 212)
    floor (0.5411376953125 × 4096)
    floor (2216.5)     		tx = 2216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5880126953125 × 212)
    floor (0.5880126953125 × 4096)
    floor (2408.5)     		ty = 2408
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2216 / 2408 ti = "12/2216/2408"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2216/2408.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2216 ÷ 212
    2216 ÷ 4096     		x = 0.541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2408 ÷ 212
    2408 ÷ 4096     		y = 0.587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.541015625 × 2 - 1) × π
    0.08203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.25770877
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.587890625 × 2 - 1) × π
    -0.17578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.552233083623047
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25770877} λ = 0.25770877}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.552233083623047))-π/2
    2×atan(0.575662870664402)-π/2
    2×0.522332302013094-π/2
    1.04466460402619-1.57079632675     		φ = -0.52613172
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25770877} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.765625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52613172 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.145127°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2216 KachelY 2408 0.25770877 -0.52613172 14.765625 -30.145127
    Oben rechts KachelX + 1 2217 KachelY 2408 0.25924275 -0.52613172 14.853515 -30.145127
    Unten links KachelX 2216 KachelY + 1 2409 0.25770877 -0.52745773 14.765625 -30.221102
    Unten rechts KachelX + 1 2217 KachelY + 1 2409 0.25924275 -0.52745773 14.853515 -30.221102
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52613172--0.52745773) × R
    0.00132600999999999 × 6371000     		dl = 8448.00970999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52613172--0.52745773) × R
    0.00132600999999999 × 6371000     		dr = 8448.00970999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25770877-0.25924275) × cos(-0.52613172) × R
    0.00153398000000005 × 0.864756154813241 × 6371000     		do = 8451.25029596246m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25770877-0.25924275) × cos(-0.52745773) × R
    0.00153398000000005 × 0.864089483159158 × 6371000     		du = 8444.73492283384m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52613172)-sin(-0.52745773))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.864756154813241-0.864089483159158)×R²
    abs(0.25924275-0.25770877)×0.000666671654083517×R²
    0.00153398000000005×0.000666671654083517×6371000²
    0.00153398000000005×0.000666671654083517×40589641000000     		ar = 71368734.051521m²