Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2216 / 1964
↖ ↑ ↗
← N  7.362467°
E 14.765625°		 ← 9 692.41 m → N  7.362467°
E 14.853515°		 →
↑
9 693.35 m
↓
↑
9 693.35 m
↓
N  7.275293°
E 14.765625°		 ← 9 694.31 m →
93 961 126 m²		 N  7.275293°
E 14.853515°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1964 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5411376953125 y=0.4796142578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5411376953125 × 212)
    floor (0.5411376953125 × 4096)
    floor (2216.5)     		tx = 2216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4796142578125 × 212)
    floor (0.4796142578125 × 4096)
    floor (1964.5)     		ty = 1964
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2216 / 1964 ti = "12/2216/1964"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2216/1964.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2216 ÷ 212
    2216 ÷ 4096     		x = 0.541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1964 ÷ 212
    1964 ÷ 4096     		y = 0.4794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.541015625 × 2 - 1) × π
    0.08203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.25770877
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4794921875 × 2 - 1) × π
    0.041015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.128854386178711
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25770877} λ = 0.25770877}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.128854386178711))-π/2
    2×atan(1.13752447282016)-π/2
    2×0.849647807331915-π/2
    1.69929561466383-1.57079632675     		φ = 0.12849929
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25770877} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.765625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.12849929 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.362467°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2216 KachelY 1964 0.25770877 0.12849929 14.765625 7.362467
    Oben rechts KachelX + 1 2217 KachelY 1964 0.25924275 0.12849929 14.853515 7.362467
    Unten links KachelX 2216 KachelY + 1 1965 0.25770877 0.12697781 14.765625 7.275293
    Unten rechts KachelX + 1 2217 KachelY + 1 1965 0.25924275 0.12697781 14.853515 7.275293
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.12849929-0.12697781) × R
    0.00152147999999999 × 6371000     		dl = 9693.34907999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.12849929-0.12697781) × R
    0.00152147999999999 × 6371000     		dr = 9693.34907999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25770877-0.25924275) × cos(0.12849929) × R
    0.00153398000000005 × 0.991755320332752 × 6371000     		do = 9692.41143625587m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25770877-0.25924275) × cos(0.12697781) × R
    0.00153398000000005 × 0.991949143850407 × 6371000     		du = 9694.30567089281m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.12849929)-sin(0.12697781))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991755320332752-0.991949143850407)×R²
    abs(0.25924275-0.25770877)×0.000193823517655067×R²
    0.00153398000000005×0.000193823517655067×6371000²
    0.00153398000000005×0.000193823517655067×40589641000000     		ar = 93961126.3432961m²