Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 22156 / 47876
↖ ↑ ↗
← S 63.558338°
W 58.293457°		 ← 272 m → S 63.558338°
W 58.287964°		 →
↑
271.98 m
↓
↑
271.98 m
↓
S 63.560784°
W 58.293457°		 ← 271.98 m →
73 976 m²		 S 63.560784°
W 58.287964°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22156 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47876 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.338081359863281 y=0.730537414550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.338081359863281 × 216)
    floor (0.338081359863281 × 65536)
    floor (22156.5)     		tx = 22156
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730537414550781 × 216)
    floor (0.730537414550781 × 65536)
    floor (47876.5)     		ty = 47876
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22156 / 47876 ti = "16/22156/47876"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22156/47876.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22156 ÷ 216
    22156 ÷ 65536     		x = 0.33807373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47876 ÷ 216
    47876 ÷ 65536     		y = 0.73052978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.33807373046875 × 2 - 1) × π
    -0.3238525390625 × 3.1415926535     		Λ = -1.01741276
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73052978515625 × 2 - 1) × π
    -0.4610595703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.44846135891962
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.01741276} λ = -1.01741276}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44846135891962))-π/2
    2×atan(0.234931485380529)-π/2
    2×0.230747030492168-π/2
    0.461494060984336-1.57079632675     		φ = -1.10930227
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.01741276} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -58.293457°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10930227 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.558338°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22156 KachelY 47876 -1.01741276 -1.10930227 -58.293457 -63.558338
    Oben rechts KachelX + 1 22157 KachelY 47876 -1.01731688 -1.10930227 -58.287964 -63.558338
    Unten links KachelX 22156 KachelY + 1 47877 -1.01741276 -1.10934496 -58.293457 -63.560784
    Unten rechts KachelX + 1 22157 KachelY + 1 47877 -1.01731688 -1.10934496 -58.287964 -63.560784
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10930227--1.10934496) × R
    4.26900000001229e-05 × 6371000     		dl = 271.977990000783m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10930227--1.10934496) × R
    4.26900000001229e-05 × 6371000     		dr = 271.977990000783m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.01741276--1.01731688) × cos(-1.10930227) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.445286364298313 × 6371000     		do = 272.003834655265m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.01741276--1.01731688) × cos(-1.10934496) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.445248139769716 × 6371000     		du = 271.9804851454m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10930227)-sin(-1.10934496))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.445286364298313-0.445248139769716)×R²
    abs(-1.01731688--1.01741276)×3.82245285971416e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.82245285971416e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.82245285971416e-05×40589641000000     		ar = 73975.8809569066m²