Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22152 / 47865
↖ ↑ ↗
← S 63.531419°
W 58.315430°		 ← 272.23 m → S 63.531419°
W 58.309937°		 →
↑
272.23 m
↓
↑
272.23 m
↓
S 63.533867°
W 58.315430°		 ← 272.21 m →
74 107 m²		 S 63.533867°
W 58.309937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22152 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47865 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.338020324707031 y=0.730369567871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.338020324707031 × 216)
    floor (0.338020324707031 × 65536)
    floor (22152.5)     		tx = 22152
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730369567871094 × 216)
    floor (0.730369567871094 × 65536)
    floor (47865.5)     		ty = 47865
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22152 / 47865 ti = "16/22152/47865"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22152/47865.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22152 ÷ 216
    22152 ÷ 65536     		x = 0.3380126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47865 ÷ 216
    47865 ÷ 65536     		y = 0.730361938476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3380126953125 × 2 - 1) × π
    -0.323974609375 × 3.1415926535     		Λ = -1.01779625
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730361938476562 × 2 - 1) × π
    -0.460723876953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.44740674712798
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.01779625} λ = -1.01779625}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44740674712798))-π/2
    2×atan(0.235179377587286)-π/2
    2×0.230981943505926-π/2
    0.461963887011852-1.57079632675     		φ = -1.10883244
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.01779625} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -58.315430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10883244 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.531419°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22152 KachelY 47865 -1.01779625 -1.10883244 -58.315430 -63.531419
    Oben rechts KachelX + 1 22153 KachelY 47865 -1.01770038 -1.10883244 -58.309937 -63.531419
    Unten links KachelX 22152 KachelY + 1 47866 -1.01779625 -1.10887517 -58.315430 -63.533867
    Unten rechts KachelX + 1 22153 KachelY + 1 47866 -1.01770038 -1.10887517 -58.309937 -63.533867
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10883244--1.10887517) × R
    4.27299999998798e-05 × 6371000     		dl = 272.232829999234m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10883244--1.10887517) × R
    4.27299999998798e-05 × 6371000     		dr = 272.232829999234m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.01779625--1.01770038) × cos(-1.10883244) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.445706995381114 × 6371000     		do = 272.232381782225m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.01779625--1.01770038) × cos(-1.10887517) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.445668743979562 × 6371000     		du = 272.209018293972m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10883244)-sin(-1.10887517))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.445706995381114-0.445668743979562)×R²
    abs(-1.01770038--1.01779625)×3.8251401551781e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.8251401551781e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.8251401551781e-05×40589641000000     		ar = 74107.4115670519m²