Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2215 / 3007
↖ ↑ ↗
← S 64.129783°
E 14.677734°		 ← 4 264.29 m → S 64.129783°
E 14.765625°		 →
↑
4 261.37 m
↓
↑
4 261.37 m
↓
S 64.168107°
E 14.677734°		 ← 4 258.40 m →
18 159 177 m²		 S 64.168107°
E 14.765625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2215 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3007 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5408935546875 y=0.7342529296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5408935546875 × 212)
    floor (0.5408935546875 × 4096)
    floor (2215.5)     		tx = 2215
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7342529296875 × 212)
    floor (0.7342529296875 × 4096)
    floor (3007.5)     		ty = 3007
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2215 / 3007 ti = "12/2215/3007"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2215/3007.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2215 ÷ 212
    2215 ÷ 4096     		x = 0.540771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3007 ÷ 212
    3007 ÷ 4096     		y = 0.734130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.540771484375 × 2 - 1) × π
    0.08154296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.25617479
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734130859375 × 2 - 1) × π
    -0.46826171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.47108757554028
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25617479} λ = 0.25617479}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47108757554028))-π/2
    2×atan(0.229675559783959)-π/2
    2×0.22576022653395-π/2
    0.451520453067901-1.57079632675     		φ = -1.11927587
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25617479} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.677734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11927587 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.129783°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2215 KachelY 3007 0.25617479 -1.11927587 14.677734 -64.129783
    Oben rechts KachelX + 1 2216 KachelY 3007 0.25770877 -1.11927587 14.765625 -64.129783
    Unten links KachelX 2215 KachelY + 1 3008 0.25617479 -1.11994474 14.677734 -64.168107
    Unten rechts KachelX + 1 2216 KachelY + 1 3008 0.25770877 -1.11994474 14.765625 -64.168107
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11927587--1.11994474) × R
    0.000668869999999933 × 6371000     		dl = 4261.37076999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11927587--1.11994474) × R
    0.000668869999999933 × 6371000     		dr = 4261.37076999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25617479-0.25770877) × cos(-1.11927587) × R
    0.00153397999999999 × 0.436334121724797 × 6371000     		do = 4264.2875160125m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25617479-0.25770877) × cos(-1.11994474) × R
    0.00153397999999999 × 0.435732185161907 × 6371000     		du = 4258.40479806136m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11927587)-sin(-1.11994474))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.436334121724797-0.435732185161907)×R²
    abs(0.25770877-0.25617479)×0.000601936562889871×R²
    0.00153397999999999×0.000601936562889871×6371000²
    0.00153397999999999×0.000601936562889871×40589641000000     		ar = 18159176.6314613m²