Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22149 / 47861
↖ ↑ ↗
← S 63.521624°
W 58.331909°		 ← 272.33 m → S 63.521624°
W 58.326416°		 →
↑
272.36 m
↓
↑
272.36 m
↓
S 63.524073°
W 58.331909°		 ← 272.30 m →
74 168 m²		 S 63.524073°
W 58.326416°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22149 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47861 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.337974548339844 y=0.730308532714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.337974548339844 × 216)
    floor (0.337974548339844 × 65536)
    floor (22149.5)     		tx = 22149
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730308532714844 × 216)
    floor (0.730308532714844 × 65536)
    floor (47861.5)     		ty = 47861
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22149 / 47861 ti = "16/22149/47861"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22149/47861.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22149 ÷ 216
    22149 ÷ 65536     		x = 0.337966918945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47861 ÷ 216
    47861 ÷ 65536     		y = 0.730300903320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.337966918945312 × 2 - 1) × π
    -0.324066162109375 × 3.1415926535     		Λ = -1.01808387
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730300903320312 × 2 - 1) × π
    -0.460601806640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.44702325193102
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.01808387} λ = -1.01808387}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44702325193102))-π/2
    2×atan(0.235269585044972)-π/2
    2×0.231067421422846-π/2
    0.462134842845691-1.57079632675     		φ = -1.10866148
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.01808387} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -58.331909°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10866148 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.521624°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22149 KachelY 47861 -1.01808387 -1.10866148 -58.331909 -63.521624
    Oben rechts KachelX + 1 22150 KachelY 47861 -1.01798800 -1.10866148 -58.326416 -63.521624
    Unten links KachelX 22149 KachelY + 1 47862 -1.01808387 -1.10870423 -58.331909 -63.524073
    Unten rechts KachelX + 1 22150 KachelY + 1 47862 -1.01798800 -1.10870423 -58.326416 -63.524073
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10866148--1.10870423) × R
    4.27499999999803e-05 × 6371000     		dl = 272.360249999874m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10866148--1.10870423) × R
    4.27499999999803e-05 × 6371000     		dr = 272.360249999874m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.01808387--1.01798800) × cos(-1.10866148) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.445860028652777 × 6371000     		do = 272.32585263296m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.01808387--1.01798800) × cos(-1.10870423) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.445821762605153 × 6371000     		du = 272.302480199065m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10866148)-sin(-1.10870423))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.445860028652777-0.445821762605153)×R²
    abs(-1.01798800--1.01808387)×3.82660476241359e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.82660476241359e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.82660476241359e-05×40589641000000     		ar = 74167.5544550523m²