Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22146 / 47858
↖ ↑ ↗
← S 63.514276°
W 58.348389°		 ← 272.42 m → S 63.514276°
W 58.342895°		 →
↑
272.36 m
↓
↑
272.36 m
↓
S 63.516725°
W 58.348389°		 ← 272.40 m →
74 194 m²		 S 63.516725°
W 58.342895°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22146 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47858 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.337928771972656 y=0.730262756347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.337928771972656 × 216)
    floor (0.337928771972656 × 65536)
    floor (22146.5)     		tx = 22146
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730262756347656 × 216)
    floor (0.730262756347656 × 65536)
    floor (47858.5)     		ty = 47858
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22146 / 47858 ti = "16/22146/47858"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22146/47858.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22146 ÷ 216
    22146 ÷ 65536     		x = 0.337921142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47858 ÷ 216
    47858 ÷ 65536     		y = 0.730255126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.337921142578125 × 2 - 1) × π
    -0.32415771484375 × 3.1415926535     		Λ = -1.01837150
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730255126953125 × 2 - 1) × π
    -0.46051025390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.44673563053329
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.01837150} λ = -1.01837150}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44673563053329))-π/2
    2×atan(0.235337263344261)-π/2
    2×0.231131549118981-π/2
    0.462263098237963-1.57079632675     		φ = -1.10853323
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.01837150} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -58.348389°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10853323 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.514276°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22146 KachelY 47858 -1.01837150 -1.10853323 -58.348389 -63.514276
    Oben rechts KachelX + 1 22147 KachelY 47858 -1.01827562 -1.10853323 -58.342895 -63.514276
    Unten links KachelX 22146 KachelY + 1 47859 -1.01837150 -1.10857598 -58.348389 -63.516725
    Unten rechts KachelX + 1 22147 KachelY + 1 47859 -1.01827562 -1.10857598 -58.342895 -63.516725
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10853323--1.10857598) × R
    4.27499999999803e-05 × 6371000     		dl = 272.360249999874m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10853323--1.10857598) × R
    4.27499999999803e-05 × 6371000     		dr = 272.360249999874m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.01837150--1.01827562) × cos(-1.10853323) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.445974821906347 × 6371000     		do = 272.42438000405m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.01837150--1.01827562) × cos(-1.10857598) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.445936558303444 × 6371000     		du = 272.401006625587m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10853323)-sin(-1.10857598))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.445974821906347-0.445936558303444)×R²
    abs(-1.01827562--1.01837150)×3.82636029031547e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.82636029031547e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.82636029031547e-05×40589641000000     		ar = 74194.3892659751m²