Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2214 / 1679
↖ ↑ ↗
← N 80.593319°
W131.352539°		 ← 399.33 m → N 80.593319°
W131.330566°		 →
↑
399.40 m
↓
↑
399.40 m
↓
N 80.589727°
W131.352539°		 ← 399.48 m →
159 523 m²		 N 80.589727°
W131.330566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2214 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1679 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.135162353515625 y=0.102508544921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.135162353515625 × 214)
    floor (0.135162353515625 × 16384)
    floor (2214.5)     		tx = 2214
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.102508544921875 × 214)
    floor (0.102508544921875 × 16384)
    floor (1679.5)     		ty = 1679
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2214 / 1679 ti = "14/2214/1679"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2214/1679.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2214 ÷ 214
    2214 ÷ 16384     		x = 0.1351318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1679 ÷ 214
    1679 ÷ 16384     		y = 0.10247802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1351318359375 × 2 - 1) × π
    -0.729736328125 × 3.1415926535     		Λ = -2.29253429
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10247802734375 × 2 - 1) × π
    0.7950439453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.49770421780341
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.29253429} λ = -2.29253429}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49770421780341))-π/2
    2×atan(12.1545576880272)-π/2
    2×1.48870754769899-π/2
    2.97741509539797-1.57079632675     		φ = 1.40661877
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.29253429} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -131.352539°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40661877 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.593319°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2214 KachelY 1679 -2.29253429 1.40661877 -131.352539 80.593319
    Oben rechts KachelX + 1 2215 KachelY 1679 -2.29215079 1.40661877 -131.330566 80.593319
    Unten links KachelX 2214 KachelY + 1 1680 -2.29253429 1.40655608 -131.352539 80.589727
    Unten rechts KachelX + 1 2215 KachelY + 1 1680 -2.29215079 1.40655608 -131.330566 80.589727
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40661877-1.40655608) × R
    6.26899999998098e-05 × 6371000     		dl = 399.397989998788m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40661877-1.40655608) × R
    6.26899999998098e-05 × 6371000     		dr = 399.397989998788m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.29253429--2.29215079) × cos(1.40661877) × R
    0.00038349999999987 × 0.163441002457008 × 6371000     		do = 399.331887321519m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.29253429--2.29215079) × cos(1.40655608) × R
    0.00038349999999987 × 0.163502849150264 × 6371000     		du = 399.482996017449m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40661877)-sin(1.40655608))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.163441002457008-0.163502849150264)×R²
    abs(-2.29215079--2.29253429)×6.1846693256401e-05×R²
    0.00038349999999987×6.1846693256401e-05×6371000²
    0.00038349999999987×6.1846693256401e-05×40589641000000     		ar = 159522.529444953m²