Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22138 / 47539
↖ ↑ ↗
← S 62.722016°
W 58.392334°		 ← 279.96 m → S 62.722016°
W 58.386841°		 →
↑
279.94 m
↓
↑
279.94 m
↓
S 62.724533°
W 58.392334°		 ← 279.93 m →
78 369 m²		 S 62.724533°
W 58.386841°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22138 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47539 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.337806701660156 y=0.725395202636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.337806701660156 × 216)
    floor (0.337806701660156 × 65536)
    floor (22138.5)     		tx = 22138
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.725395202636719 × 216)
    floor (0.725395202636719 × 65536)
    floor (47539.5)     		ty = 47539
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22138 / 47539 ti = "16/22138/47539"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22138/47539.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22138 ÷ 216
    22138 ÷ 65536     		x = 0.337799072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47539 ÷ 216
    47539 ÷ 65536     		y = 0.725387573242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.337799072265625 × 2 - 1) × π
    -0.32440185546875 × 3.1415926535     		Λ = -1.01913849
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.725387573242188 × 2 - 1) × π
    -0.450775146484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.4161518885757
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.01913849} λ = -1.01913849}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4161518885757))-π/2
    2×atan(0.2426459513106)-π/2
    2×0.23804531923349-π/2
    0.476090638466981-1.57079632675     		φ = -1.09470569
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.01913849} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -58.392334°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09470569 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.722016°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22138 KachelY 47539 -1.01913849 -1.09470569 -58.392334 -62.722016
    Oben rechts KachelX + 1 22139 KachelY 47539 -1.01904261 -1.09470569 -58.386841 -62.722016
    Unten links KachelX 22138 KachelY + 1 47540 -1.01913849 -1.09474963 -58.392334 -62.724533
    Unten rechts KachelX + 1 22139 KachelY + 1 47540 -1.01904261 -1.09474963 -58.386841 -62.724533
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09470569--1.09474963) × R
    4.39399999998535e-05 × 6371000     		dl = 279.941739999067m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09470569--1.09474963) × R
    4.39399999998535e-05 × 6371000     		dr = 279.941739999067m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.01913849--1.01904261) × cos(-1.09470569) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.4583080703509 × 6371000     		do = 279.958163069608m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.01913849--1.01904261) × cos(-1.09474963) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.458269016326365 × 6371000     		du = 279.934306860921m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09470569)-sin(-1.09474963))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.4583080703509-0.458269016326365)×R²
    abs(-1.01904261--1.01913849)×3.90540245343018e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.90540245343018e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.90540245343018e-05×40589641000000     		ar = 78368.6361350919m²