Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22137 / 47545
↖ ↑ ↗
← S 62.737117°
W 58.397827°		 ← 279.79 m → S 62.737117°
W 58.392334°		 →
↑
279.75 m
↓
↑
279.75 m
↓
S 62.739633°
W 58.397827°		 ← 279.76 m →
78 267 m²		 S 62.739633°
W 58.392334°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22137 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47545 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.337791442871094 y=0.725486755371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.337791442871094 × 216)
    floor (0.337791442871094 × 65536)
    floor (22137.5)     		tx = 22137
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.725486755371094 × 216)
    floor (0.725486755371094 × 65536)
    floor (47545.5)     		ty = 47545
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22137 / 47545 ti = "16/22137/47545"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22137/47545.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22137 ÷ 216
    22137 ÷ 65536     		x = 0.337783813476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47545 ÷ 216
    47545 ÷ 65536     		y = 0.725479125976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.337783813476562 × 2 - 1) × π
    -0.324432373046875 × 3.1415926535     		Λ = -1.01923436
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.725479125976562 × 2 - 1) × π
    -0.450958251953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.41672713137114
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.01923436} λ = -1.01923436}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41672713137114))-π/2
    2×atan(0.24250641111386)-π/2
    2×0.237913533718801-π/2
    0.475827067437602-1.57079632675     		φ = -1.09496926
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.01923436} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -58.397827°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09496926 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.737117°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22137 KachelY 47545 -1.01923436 -1.09496926 -58.397827 -62.737117
    Oben rechts KachelX + 1 22138 KachelY 47545 -1.01913849 -1.09496926 -58.392334 -62.737117
    Unten links KachelX 22137 KachelY + 1 47546 -1.01923436 -1.09501317 -58.397827 -62.739633
    Unten rechts KachelX + 1 22138 KachelY + 1 47546 -1.01913849 -1.09501317 -58.392334 -62.739633
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09496926--1.09501317) × R
    4.39100000000359e-05 × 6371000     		dl = 279.750610000229m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09496926--1.09501317) × R
    4.39100000000359e-05 × 6371000     		dr = 279.750610000229m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.01923436--1.01913849) × cos(-1.09496926) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.458073795157332 × 6371000     		do = 279.785871839578m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.01923436--1.01913849) × cos(-1.09501317) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.458034762494622 × 6371000     		du = 279.762031166563m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09496926)-sin(-1.09501317))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.458073795157332-0.458034762494622)×R²
    abs(-1.01913849--1.01923436)×3.9032662710603e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.9032662710603e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.9032662710603e-05×40589641000000     		ar = 78266.9336075881m²