Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22136 / 47637
↖ ↑ ↗
← S 62.967709°
W 58.403320°		 ← 277.60 m → S 62.967709°
W 58.397827°		 →
↑
277.58 m
↓
↑
277.58 m
↓
S 62.970205°
W 58.403320°		 ← 277.57 m →
77 054 m²		 S 62.970205°
W 58.397827°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22136 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47637 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.337776184082031 y=0.726890563964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.337776184082031 × 216)
    floor (0.337776184082031 × 65536)
    floor (22136.5)     		tx = 22136
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726890563964844 × 216)
    floor (0.726890563964844 × 65536)
    floor (47637.5)     		ty = 47637
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22136 / 47637 ti = "16/22136/47637"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22136/47637.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22136 ÷ 216
    22136 ÷ 65536     		x = 0.3377685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47637 ÷ 216
    47637 ÷ 65536     		y = 0.726882934570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3377685546875 × 2 - 1) × π
    -0.324462890625 × 3.1415926535     		Λ = -1.01933023
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.726882934570312 × 2 - 1) × π
    -0.453765869140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.42554752090123
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.01933023} λ = -1.01933023}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42554752090123))-π/2
    2×atan(0.240376815840944)-π/2
    2×0.23590124358592-π/2
    0.47180248717184-1.57079632675     		φ = -1.09899384
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.01933023} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -58.403320°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09899384 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.967709°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22136 KachelY 47637 -1.01933023 -1.09899384 -58.403320 -62.967709
    Oben rechts KachelX + 1 22137 KachelY 47637 -1.01923436 -1.09899384 -58.397827 -62.967709
    Unten links KachelX 22136 KachelY + 1 47638 -1.01933023 -1.09903741 -58.403320 -62.970205
    Unten rechts KachelX + 1 22137 KachelY + 1 47638 -1.01923436 -1.09903741 -58.397827 -62.970205
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09899384--1.09903741) × R
    4.35699999998818e-05 × 6371000     		dl = 277.584469999247m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09899384--1.09903741) × R
    4.35699999998818e-05 × 6371000     		dr = 277.584469999247m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.01933023--1.01923436) × cos(-1.09899384) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.454492588870881 × 6371000     		do = 277.598514837966m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.01933023--1.01923436) × cos(-1.09903741) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.454453778439399 × 6371000     		du = 277.574809901069m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09899384)-sin(-1.09903741))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.454492588870881-0.454453778439399)×R²
    abs(-1.01923436--1.01933023)×3.88104314815729e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.88104314815729e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.88104314815729e-05×40589641000000     		ar = 77053.7465649536m²