Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22133 / 47640
↖ ↑ ↗
← S 62.975197°
W 58.419800°		 ← 277.53 m → S 62.975197°
W 58.414307°		 →
↑
277.58 m
↓
↑
277.58 m
↓
S 62.977694°
W 58.419800°		 ← 277.50 m →
77 034 m²		 S 62.977694°
W 58.414307°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22133 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47640 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.337730407714844 y=0.726936340332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.337730407714844 × 216)
    floor (0.337730407714844 × 65536)
    floor (22133.5)     		tx = 22133
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726936340332031 × 216)
    floor (0.726936340332031 × 65536)
    floor (47640.5)     		ty = 47640
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22133 / 47640 ti = "16/22133/47640"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22133/47640.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22133 ÷ 216
    22133 ÷ 65536     		x = 0.337722778320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47640 ÷ 216
    47640 ÷ 65536     		y = 0.7269287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.337722778320312 × 2 - 1) × π
    -0.324554443359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.01961785
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7269287109375 × 2 - 1) × π
    -0.453857421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.42583514229895
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.01961785} λ = -1.01961785}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42583514229895))-π/2
    2×atan(0.240307688266954)-π/2
    2×0.235835891061206-π/2
    0.471671782122412-1.57079632675     		φ = -1.09912454
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.01961785} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -58.419800°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09912454 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.975197°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22133 KachelY 47640 -1.01961785 -1.09912454 -58.419800 -62.975197
    Oben rechts KachelX + 1 22134 KachelY 47640 -1.01952198 -1.09912454 -58.414307 -62.975197
    Unten links KachelX 22133 KachelY + 1 47641 -1.01961785 -1.09916811 -58.419800 -62.977694
    Unten rechts KachelX + 1 22134 KachelY + 1 47641 -1.01952198 -1.09916811 -58.414307 -62.977694
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09912454--1.09916811) × R
    4.35699999998818e-05 × 6371000     		dl = 277.584469999247m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09912454--1.09916811) × R
    4.35699999998818e-05 × 6371000     		dr = 277.584469999247m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.01961785--1.01952198) × cos(-1.09912454) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.454376163896479 × 6371000     		do = 277.527403887479m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.01961785--1.01952198) × cos(-1.09916811) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.454337350877286 × 6371000     		du = 277.503697370039m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09912454)-sin(-1.09916811))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.454376163896479-0.454337350877286)×R²
    abs(-1.01952198--1.01961785)×3.88130191926184e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.88130191926184e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.88130191926184e-05×40589641000000     		ar = 77034.007050161m²