Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22131 / 47580
↖ ↑ ↗
← S 62.825055°
W 58.430786°		 ← 278.95 m → S 62.825055°
W 58.425293°		 →
↑
278.99 m
↓
↑
278.99 m
↓
S 62.827564°
W 58.430786°		 ← 278.93 m →
77 820 m²		 S 62.827564°
W 58.425293°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22131 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47580 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.337699890136719 y=0.726020812988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.337699890136719 × 216)
    floor (0.337699890136719 × 65536)
    floor (22131.5)     		tx = 22131
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726020812988281 × 216)
    floor (0.726020812988281 × 65536)
    floor (47580.5)     		ty = 47580
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22131 / 47580 ti = "16/22131/47580"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22131/47580.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22131 ÷ 216
    22131 ÷ 65536     		x = 0.337692260742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47580 ÷ 216
    47580 ÷ 65536     		y = 0.72601318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.337692260742188 × 2 - 1) × π
    -0.324615478515625 × 3.1415926535     		Λ = -1.01980960
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72601318359375 × 2 - 1) × π
    -0.4520263671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.42008271434454
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.01980960} λ = -1.01980960}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42008271434454))-π/2
    2×atan(0.241694024507402)-π/2
    2×0.237146126795369-π/2
    0.474292253590737-1.57079632675     		φ = -1.09650407
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.01980960} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -58.430786°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09650407 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.825055°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22131 KachelY 47580 -1.01980960 -1.09650407 -58.430786 -62.825055
    Oben rechts KachelX + 1 22132 KachelY 47580 -1.01971373 -1.09650407 -58.425293 -62.825055
    Unten links KachelX 22131 KachelY + 1 47581 -1.01980960 -1.09654786 -58.430786 -62.827564
    Unten rechts KachelX + 1 22132 KachelY + 1 47581 -1.01971373 -1.09654786 -58.425293 -62.827564
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09650407--1.09654786) × R
    4.3790000000099e-05 × 6371000     		dl = 278.986090000631m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09650407--1.09654786) × R
    4.3790000000099e-05 × 6371000     		dr = 278.986090000631m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.01980960--1.01971373) × cos(-1.09650407) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.456708941809912 × 6371000     		do = 278.95223610713m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.01980960--1.01971373) × cos(-1.09654786) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.456669985079647 × 6371000     		du = 278.928441812724m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09650407)-sin(-1.09654786))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.456708941809912-0.456669985079647)×R²
    abs(-1.01971373--1.01980960)×3.89567302650495e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.89567302650495e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.89567302650495e-05×40589641000000     		ar = 77820.4745223366m²