Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22130 / 47582
↖ ↑ ↗
← S 62.830073°
W 58.436280°		 ← 278.93 m → S 62.830073°
W 58.430786°		 →
↑
278.92 m
↓
↑
278.92 m
↓
S 62.832581°
W 58.436280°		 ← 278.91 m →
77 798 m²		 S 62.832581°
W 58.430786°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22130 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47582 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.337684631347656 y=0.726051330566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.337684631347656 × 216)
    floor (0.337684631347656 × 65536)
    floor (22130.5)     		tx = 22130
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726051330566406 × 216)
    floor (0.726051330566406 × 65536)
    floor (47582.5)     		ty = 47582
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22130 / 47582 ti = "16/22130/47582"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22130/47582.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22130 ÷ 216
    22130 ÷ 65536     		x = 0.337677001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47582 ÷ 216
    47582 ÷ 65536     		y = 0.726043701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.337677001953125 × 2 - 1) × π
    -0.32464599609375 × 3.1415926535     		Λ = -1.01990548
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.726043701171875 × 2 - 1) × π
    -0.45208740234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.42027446194302
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.01990548} λ = -1.01990548}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42027446194302))-π/2
    2×atan(0.241647684701551)-π/2
    2×0.23710234410867-π/2
    0.47420468821734-1.57079632675     		φ = -1.09659164
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.01990548} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -58.436280°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09659164 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.830073°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22130 KachelY 47582 -1.01990548 -1.09659164 -58.436280 -62.830073
    Oben rechts KachelX + 1 22131 KachelY 47582 -1.01980960 -1.09659164 -58.430786 -62.830073
    Unten links KachelX 22130 KachelY + 1 47583 -1.01990548 -1.09663542 -58.436280 -62.832581
    Unten rechts KachelX + 1 22131 KachelY + 1 47583 -1.01980960 -1.09663542 -58.430786 -62.832581
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09659164--1.09663542) × R
    4.37799999999378e-05 × 6371000     		dl = 278.922379999603m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09659164--1.09663542) × R
    4.37799999999378e-05 × 6371000     		dr = 278.922379999603m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.01990548--1.01980960) × cos(-1.09659164) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.456631036370249 × 6371000     		do = 278.933744380518m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.01990548--1.01980960) × cos(-1.09663542) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.456592086785633 × 6371000     		du = 278.909951969109m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09659164)-sin(-1.09663542))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.456631036370249-0.456592086785633)×R²
    abs(-1.01980960--1.01990548)×3.89495846165877e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.89495846165877e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.89495846165877e-05×40589641000000     		ar = 77797.5457390723m²