Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2213 / 2789
↖ ↑ ↗
← N 75.644984°
W131.374512°		 ← 605.74 m → N 75.644984°
W131.352539°		 →
↑
605.88 m
↓
↑
605.88 m
↓
N 75.639536°
W131.374512°		 ← 605.97 m →
367 078 m²		 N 75.639536°
W131.352539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2213 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2789 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.135101318359375 y=0.170257568359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.135101318359375 × 214)
    floor (0.135101318359375 × 16384)
    floor (2213.5)     		tx = 2213
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.170257568359375 × 214)
    floor (0.170257568359375 × 16384)
    floor (2789.5)     		ty = 2789
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2213 / 2789 ti = "14/2213/2789"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2213/2789.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2213 ÷ 214
    2213 ÷ 16384     		x = 0.13507080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2789 ÷ 214
    2789 ÷ 16384     		y = 0.17022705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.13507080078125 × 2 - 1) × π
    -0.7298583984375 × 3.1415926535     		Λ = -2.29291778
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.17022705078125 × 2 - 1) × π
    0.6595458984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.07202454917731
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.29291778} λ = -2.29291778}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.07202454917731))-π/2
    2×atan(7.94088356406891)-π/2
    2×1.4455251830916-π/2
    2.89105036618319-1.57079632675     		φ = 1.32025404
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.29291778} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -131.374512°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32025404 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.644984°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2213 KachelY 2789 -2.29291778 1.32025404 -131.374512 75.644984
    Oben rechts KachelX + 1 2214 KachelY 2789 -2.29253429 1.32025404 -131.352539 75.644984
    Unten links KachelX 2213 KachelY + 1 2790 -2.29291778 1.32015894 -131.374512 75.639536
    Unten rechts KachelX + 1 2214 KachelY + 1 2790 -2.29253429 1.32015894 -131.352539 75.639536
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32025404-1.32015894) × R
    9.51000000000146e-05 × 6371000     		dl = 605.882100000093m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32025404-1.32015894) × R
    9.51000000000146e-05 × 6371000     		dr = 605.882100000093m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.29291778--2.29253429) × cos(1.32025404) × R
    0.000383489999999931 × 0.247929351262821 × 6371000     		do = 605.744657880319m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.29291778--2.29253429) × cos(1.32015894) × R
    0.000383489999999931 × 0.248021480940314 × 6371000     		du = 605.969750470968m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32025404)-sin(1.32015894))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.247929351262821-0.248021480940314)×R²
    abs(-2.29253429--2.29291778)×9.21296774932245e-05×R²
    0.000383489999999931×9.21296774932245e-05×6371000²
    0.000383489999999931×9.21296774932245e-05×40589641000000     		ar = 367078.035443949m²