Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22127 / 47537
↖ ↑ ↗
← S 62.716980°
W 58.452759°		 ← 280.01 m → S 62.716980°
W 58.447265°		 →
↑
280.01 m
↓
↑
280.01 m
↓
S 62.719498°
W 58.452759°		 ← 279.98 m →
78 400 m²		 S 62.719498°
W 58.447265°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22127 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47537 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.337638854980469 y=0.725364685058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.337638854980469 × 216)
    floor (0.337638854980469 × 65536)
    floor (22127.5)     		tx = 22127
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.725364685058594 × 216)
    floor (0.725364685058594 × 65536)
    floor (47537.5)     		ty = 47537
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22127 / 47537 ti = "16/22127/47537"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22127/47537.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22127 ÷ 216
    22127 ÷ 65536     		x = 0.337631225585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47537 ÷ 216
    47537 ÷ 65536     		y = 0.725357055664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.337631225585938 × 2 - 1) × π
    -0.324737548828125 × 3.1415926535     		Λ = -1.02019310
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.725357055664062 × 2 - 1) × π
    -0.450714111328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.41596014097722
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.02019310} λ = -1.02019310}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41596014097722))-π/2
    2×atan(0.242692482550029)-π/2
    2×0.238089262713909-π/2
    0.476178525427818-1.57079632675     		φ = -1.09461780
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.02019310} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -58.452759°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09461780 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.716980°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22127 KachelY 47537 -1.02019310 -1.09461780 -58.452759 -62.716980
    Oben rechts KachelX + 1 22128 KachelY 47537 -1.02009722 -1.09461780 -58.447265 -62.716980
    Unten links KachelX 22127 KachelY + 1 47538 -1.02019310 -1.09466175 -58.452759 -62.719498
    Unten rechts KachelX + 1 22128 KachelY + 1 47538 -1.02009722 -1.09466175 -58.447265 -62.719498
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09461780--1.09466175) × R
    4.39500000000148e-05 × 6371000     		dl = 280.005450000094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09461780--1.09466175) × R
    4.39500000000148e-05 × 6371000     		dr = 280.005450000094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.02019310--1.02009722) × cos(-1.09461780) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.458386184632826 × 6371000     		do = 280.005879294331m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.02019310--1.02009722) × cos(-1.09466175) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.458347123490568 × 6371000     		du = 279.982018737773m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09461780)-sin(-1.09466175))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.458386184632826-0.458347123490568)×R²
    abs(-1.02009722--1.02019310)×3.9061142257768e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.9061142257768e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.9061142257768e-05×40589641000000     		ar = 78399.8317041707m²