Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22126 / 47646
↖ ↑ ↗
← S 62.990169°
W 58.458252°		 ← 277.39 m → S 62.990169°
W 58.452759°		 →
↑
277.39 m
↓
↑
277.39 m
↓
S 62.992664°
W 58.458252°		 ← 277.36 m →
76 942 m²		 S 62.992664°
W 58.452759°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22126 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47646 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.337623596191406 y=0.727027893066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.337623596191406 × 216)
    floor (0.337623596191406 × 65536)
    floor (22126.5)     		tx = 22126
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727027893066406 × 216)
    floor (0.727027893066406 × 65536)
    floor (47646.5)     		ty = 47646
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22126 / 47646 ti = "16/22126/47646"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22126/47646.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22126 ÷ 216
    22126 ÷ 65536     		x = 0.337615966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47646 ÷ 216
    47646 ÷ 65536     		y = 0.727020263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.337615966796875 × 2 - 1) × π
    -0.32476806640625 × 3.1415926535     		Λ = -1.02028897
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.727020263671875 × 2 - 1) × π
    -0.45404052734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.42641038509439
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.02028897} λ = -1.02028897}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42641038509439))-π/2
    2×atan(0.240169492752387)-π/2
    2×0.235705236235255-π/2
    0.47141047247051-1.57079632675     		φ = -1.09938585
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.02028897} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -58.458252°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09938585 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.990169°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22126 KachelY 47646 -1.02028897 -1.09938585 -58.458252 -62.990169
    Oben rechts KachelX + 1 22127 KachelY 47646 -1.02019310 -1.09938585 -58.452759 -62.990169
    Unten links KachelX 22126 KachelY + 1 47647 -1.02028897 -1.09942939 -58.458252 -62.992664
    Unten rechts KachelX + 1 22127 KachelY + 1 47647 -1.02019310 -1.09942939 -58.452759 -62.992664
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09938585--1.09942939) × R
    4.35400000000641e-05 × 6371000     		dl = 277.393340000408m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09938585--1.09942939) × R
    4.35400000000641e-05 × 6371000     		dr = 277.393340000408m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.02028897--1.02019310) × cos(-1.09938585) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.454143370847611 × 6371000     		do = 277.38521674029m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.02028897--1.02019310) × cos(-1.09942939) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.454104579385218 × 6371000     		du = 277.361523389479m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09938585)-sin(-1.09942939))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.454143370847611-0.454104579385218)×R²
    abs(-1.02019310--1.02028897)×3.87914623931618e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.87914623931618e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.87914623931618e-05×40589641000000     		ar = 76941.525561817m²