Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22125 / 47536
↖ ↑ ↗
← S 62.714462°
W 58.463745°		 ← 280.03 m → S 62.714462°
W 58.458252°		 →
↑
280.01 m
↓
↑
280.01 m
↓
S 62.716980°
W 58.463745°		 ← 280.01 m →
78 407 m²		 S 62.716980°
W 58.458252°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22125 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47536 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.337608337402344 y=0.725349426269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.337608337402344 × 216)
    floor (0.337608337402344 × 65536)
    floor (22125.5)     		tx = 22125
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.725349426269531 × 216)
    floor (0.725349426269531 × 65536)
    floor (47536.5)     		ty = 47536
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22125 / 47536 ti = "16/22125/47536"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22125/47536.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22125 ÷ 216
    22125 ÷ 65536     		x = 0.337600708007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47536 ÷ 216
    47536 ÷ 65536     		y = 0.725341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.337600708007812 × 2 - 1) × π
    -0.324798583984375 × 3.1415926535     		Λ = -1.02038485
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.725341796875 × 2 - 1) × π
    -0.45068359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.41586426717798
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.02038485} λ = -1.02038485}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41586426717798))-π/2
    2×atan(0.242715751515802)-π/2
    2×0.238111237262555-π/2
    0.476222474525111-1.57079632675     		φ = -1.09457385
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.02038485} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -58.463745°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09457385 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.714462°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22125 KachelY 47536 -1.02038485 -1.09457385 -58.463745 -62.714462
    Oben rechts KachelX + 1 22126 KachelY 47536 -1.02028897 -1.09457385 -58.458252 -62.714462
    Unten links KachelX 22125 KachelY + 1 47537 -1.02038485 -1.09461780 -58.463745 -62.716980
    Unten rechts KachelX + 1 22126 KachelY + 1 47537 -1.02028897 -1.09461780 -58.458252 -62.716980
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09457385--1.09461780) × R
    4.39500000000148e-05 × 6371000     		dl = 280.005450000094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09457385--1.09461780) × R
    4.39500000000148e-05 × 6371000     		dr = 280.005450000094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.02038485--1.02028897) × cos(-1.09457385) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.458425244889664 × 6371000     		do = 280.02973931003m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.02038485--1.02028897) × cos(-1.09461780) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.458386184632826 × 6371000     		du = 280.005879294331m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09457385)-sin(-1.09461780))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.458425244889664-0.458386184632826)×R²
    abs(-1.02028897--1.02038485)×3.90602568379195e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.90602568379195e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.90602568379195e-05×40589641000000     		ar = 78406.5127144141m²