Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2212 / 2788
↖ ↑ ↗
← N 75.650431°
W131.396484°		 ← 605.54 m → N 75.650431°
W131.374512°		 →
↑
605.63 m
↓
↑
605.63 m
↓
N 75.644984°
W131.396484°		 ← 605.76 m →
366 797 m²		 N 75.644984°
W131.374512°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2212 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2788 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.135040283203125 y=0.170196533203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.135040283203125 × 214)
    floor (0.135040283203125 × 16384)
    floor (2212.5)     		tx = 2212
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.170196533203125 × 214)
    floor (0.170196533203125 × 16384)
    floor (2788.5)     		ty = 2788
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2212 / 2788 ti = "14/2212/2788"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2212/2788.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2212 ÷ 214
    2212 ÷ 16384     		x = 0.135009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2788 ÷ 214
    2788 ÷ 16384     		y = 0.170166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.135009765625 × 2 - 1) × π
    -0.72998046875 × 3.1415926535     		Λ = -2.29330128
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.170166015625 × 2 - 1) × π
    0.65966796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.07240804437427
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.29330128} λ = -2.29330128}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.07240804437427))-π/2
    2×atan(7.94392943877719)-π/2
    2×1.44557271411938-π/2
    2.89114542823877-1.57079632675     		φ = 1.32034910
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.29330128} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -131.396484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32034910 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.650431°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2212 KachelY 2788 -2.29330128 1.32034910 -131.396484 75.650431
    Oben rechts KachelX + 1 2213 KachelY 2788 -2.29291778 1.32034910 -131.374512 75.650431
    Unten links KachelX 2212 KachelY + 1 2789 -2.29330128 1.32025404 -131.396484 75.644984
    Unten rechts KachelX + 1 2213 KachelY + 1 2789 -2.29291778 1.32025404 -131.374512 75.644984
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32034910-1.32025404) × R
    9.50600000000357e-05 × 6371000     		dl = 605.627260000227m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32034910-1.32025404) × R
    9.50600000000357e-05 × 6371000     		dr = 605.627260000227m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.29330128--2.29291778) × cos(1.32034910) × R
    0.000383500000000314 × 0.247837258095119 × 6371000     		do = 605.535444203252m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.29330128--2.29291778) × cos(1.32025404) × R
    0.000383500000000314 × 0.247929351262821 × 6371000     		du = 605.760453459893m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32034910)-sin(1.32025404))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.247837258095119-0.247929351262821)×R²
    abs(-2.29291778--2.29330128)×9.20931677013959e-05×R²
    0.000383500000000314×9.20931677013959e-05×6371000²
    0.000383500000000314×9.20931677013959e-05×40589641000000     		ar = 366796.908050424m²